1. مسئله را بیان می‌کنیم: می‌خواهیم انتگرال خطی $$\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}$$ را روی منحنی پارامتری داده شده محاسبه کنیم. 2. میدان برداری داده شده است: $$\vec{F}(x,y) = \frac{2x}{x} \mathbf{i} + \frac{2y}{y} \mathbf{j} = 2 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j}$$ چون $$x \neq 0$$ و $$y \neq 0$$ در دامنه منحنی. 3. منحنی پارامتری است: $$\vec{r}(t) = (r \cos(\pi t) - 1) \mathbf{i} + \sin\left(\frac{\pi}{2} t \right) \mathbf{j}, \quad 0 \leq t \leq 1$$ 4. مشتق بردار موقعیت نسبت به $$t$$ را محاسبه می‌کنیم: $$\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt} \left( r \cos(\pi t) - 1 \right) \mathbf{i} + \frac{d}{dt} \sin\left(\frac{\pi}{2} t \right) \mathbf{j} = -r \pi \sin(\pi t) \mathbf{i} + \frac{\pi}{2} \cos\left(\frac{\pi}{2} t \right) \mathbf{j}$$ 5. انتگرال خطی به صورت زیر است: $$\int_0^1 \vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot \frac{d\vec{r}}{dt} dt = \int_0^1 (2 \mathbf{i} + 2 \mathbf{j}) \cdot \left(-r \pi \sin(\pi t) \mathbf{i} + \frac{\pi}{2} \cos\left(\frac{\pi}{2} t \right) \mathbf{j} \right) dt$$ 6. ضرب داخلی را انجام می‌دهیم: $$\int_0^1 \left( 2 \times (-r \pi \sin(\pi t)) + 2 \times \frac{\pi}{2} \cos\left(\frac{\pi}{2} t \right) \right) dt = \int_0^1 \left( -2 r \pi \sin(\pi t) + \pi \cos\left(\frac{\pi}{2} t \right) \right) dt$$ 7. انتگرال را جداگانه محاسبه می‌کنیم: $$I = -2 r \pi \int_0^1 \sin(\pi t) dt + \pi \int_0^1 \cos\left(\frac{\pi}{2} t \right) dt$$ 8. محاسبه انتگرال اول: $$\int_0^1 \sin(\pi t) dt = \left[-\frac{\cos(\pi t)}{\pi} \right]_0^1 = -\frac{\cos(\pi)}{\pi} + \frac{\cos(0)}{\pi} = -\frac{-1}{\pi} + \frac{1}{\pi} = \frac{2}{\pi}$$ 9. محاسبه انتگرال دوم: $$\int_0^1 \cos\left(\frac{\pi}{2} t \right) dt = \left[ \frac{2}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{2} t \right) \right]_0^1 = \frac{2}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{2} \right) - 0 = \frac{2}{\pi} \times 1 = \frac{2}{\pi}$$ 10. جایگذاری نتایج: $$I = -2 r \pi \times \frac{2}{\pi} + \pi \times \frac{2}{\pi} = -4 r + 2$$ 11. پاسخ نهایی انتگرال خطی روی منحنی $$C$$ برابر است با: $$\boxed{-4 r + 2}$$