1. **Stel het probleem vast:** We willen het punt $C$ vinden op de lijn $a: 2x - y = 1$ zodat driehoek $\triangle ABC$ rechthoekig is in $C$. 2. **Gebruik vectoren:** De vectoren $\overrightarrow{CA}$ en $\overrightarrow{CB}$ zijn respectievelijk: $$\overrightarrow{CA} = (-2 - x_C, 3 - y_C)$$ $$\overrightarrow{CB} = (5 - x_C, -2 - y_C)$$ 3. **Voorwaarde voor een rechte hoek in $C$:** De vectoren $\overrightarrow{CA}$ en $\overrightarrow{CB}$ moeten loodrecht op elkaar staan, dus hun inwendige product is nul: $$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0$$ $$(-2 - x_C)(5 - x_C) + (3 - y_C)(-2 - y_C) = 0$$ 4. **Gebruik de lijnvergelijking:** Omdat $C$ op lijn $a$ ligt, geldt: $$2x_C - y_C = 1 \Rightarrow y_C = 2x_C - 1$$ 5. **Vervang $y_C$ in de inwendige productvergelijking:** $$(-2 - x_C)(5 - x_C) + (3 - (2x_C - 1))(-2 - (2x_C - 1)) = 0$$ 6. **Werk de haakjes uit:** $$(-2 - x_C)(5 - x_C) + (-2x_C + 4)(-2x_C - 1) = 0$$ $$(-2)(5) + (-2)(-x_C) + (-x_C)(5) + (-x_C)(-x_C) + (-2x_C + 4)(-2x_C - 1) = 0$$ $$-10 + 2x_C - 5x_C + x_C^2 + (4x_C^2 + 2x_C - 8x_C - 4) = 0$$ 7. **Vereenvoudig:** $$-10 + 2x_C - 5x_C + x_C^2 + 4x_C^2 + 2x_C - 8x_C - 4 = 0$$ $$5x_C^2 - 9x_C - 14 = 0$$ 8. **Los de kwadratische vergelijking op:** $$5x_C^2 - 9x_C - 14 = 0$$ Gebruik de abc-formule: $$x_C = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-14)}}{2 \cdot 5} = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 280}}{10} = \frac{9 \pm \sqrt{361}}{10}$$ $$x_C = \frac{9 \pm 19}{10}$$ 9. **Bereken de twee oplossingen:** $$x_C = \frac{9 + 19}{10} = \frac{28}{10} = \frac{14}{5}$$ $$x_C = \frac{9 - 19}{10} = \frac{-10}{10} = -1$$ 10. **Bereken bijbehorende $y_C$ waarden:** $$y_C = 2x_C - 1$$ Voor $x_C = -1$: $$y_C = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3$$ Voor $x_C = \frac{14}{5}$: $$y_C = 2 \cdot \frac{14}{5} - 1 = \frac{28}{5} - 1 = \frac{28}{5} - \frac{5}{5} = \frac{23}{5}$$ **Antwoord:** $$C = (-1, -3) \quad \text{of} \quad C = \left(\frac{14}{5}, \frac{23}{5}\right)$$ **Hoe weet je dit?** We gebruiken de eigenschap dat in een rechthoekige driehoek de twee zijden die de rechte hoek vormen loodrecht op elkaar staan. Dit betekent dat hun vectoren een inwendig product van nul hebben. Door deze eigenschap te combineren met de lijnvergelijking van $a$, kunnen we de coördinaten van $C$ bepalen.