1. **Problemstellung:** Gegeben ist der Vektor $$\overrightarrow{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}$$ und vier weitere Vektoren: $$\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 10 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -10 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{c} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ 1 \\ \frac{6}{5} \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{d} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$$ Wir sollen bestimmen, welcher dieser Vektoren kollinear zu $$\overrightarrow{v}$$ ist. 2. **Definition Kollinearität:** Zwei Vektoren $$\overrightarrow{u}$$ und $$\overrightarrow{v}$$ sind kollinear, wenn es einen Skalar $$k$$ gibt, so dass $$\overrightarrow{u} = k \cdot \overrightarrow{v}$$ gilt. 3. **Vorgehen:** Wir prüfen für jeden Vektor, ob es ein $$k$$ gibt, so dass $$\overrightarrow{u} = k \cdot \overrightarrow{v} = k \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2k \\ -k \\ 5k \end{pmatrix}$$ 4. **Prüfung für $$\overrightarrow{a}$$:** $$\overrightarrow{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 10 \end{pmatrix}$$ Setze Komponenten gleich: $$-1 = 2k \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$$ $$-2 = -k \Rightarrow k = 2$$ Da $$k$$ nicht gleich ist, ist $$\overrightarrow{a}$$ nicht kollinear. 5. **Prüfung für $$\overrightarrow{b}$$:** $$\overrightarrow{b} = \begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -10 \end{pmatrix}$$ Setze Komponenten gleich: $$-4 = 2k \Rightarrow k = -2$$ $$2 = -k \Rightarrow k = -2$$ $$-10 = 5k \Rightarrow k = -2$$ Alle drei Werte für $$k$$ stimmen überein. 6. **Ergebnis:** $$\overrightarrow{b}$$ ist kollinear zu $$\overrightarrow{v}$$ mit $$k = -2$$. 7. **Prüfung für $$\overrightarrow{c}$$:** $$\overrightarrow{c} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \\ 1 \\ \frac{6}{5} \end{pmatrix}$$ $$\frac{1}{3} = 2k \Rightarrow k = \frac{1}{6}$$ $$1 = -k \Rightarrow k = -1$$ $$\frac{6}{5} = 5k \Rightarrow k = \frac{6}{25}$$ Keine Übereinstimmung, also nicht kollinear. 8. **Prüfung für $$\overrightarrow{d}$$:** $$\overrightarrow{d} = \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}$$ $$4 = 2k \Rightarrow k = 2$$ $$-2 = -k \Rightarrow k = 2$$ $$0 = 5k \Rightarrow k = 0$$ Kein einheitliches $$k$$, also nicht kollinear. **Finale Antwort:** Der Vektor $$\overrightarrow{b}$$ ist kollinear zu $$\overrightarrow{v}$$.