1. **Problemstellung:** Berechnen Sie den Fluss des Vektorfeldes $$F(x,y,z) = \left(xyz - \sqrt{y^2+1} \cosh(z),\ x^2 + \log(y^2+1) \cos(z),\ x^2 y^2 - \frac{2y \sin(z)}{y^2+1} + z^2\right)$$ durch die Halbkugelschale $$S := \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 = 1, z \geq 0\}$$ mit Orientierung nach außen. 2. **Formel:** Der Fluss durch die Oberfläche $S$ kann mit dem Divergenzsatz berechnet werden: $$\iint_S F \cdot d\mathbf{o} = \iiint_K \mathrm{div} F \, dV$$ wobei $$K := \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 + z^2 \leq 1, z \geq 0\}$$ 3. **Divergenz berechnen:** Die Divergenz ist $$\mathrm{div} F = \frac{\partial}{\partial x} F_1 + \frac{\partial}{\partial y} F_2 + \frac{\partial}{\partial z} F_3$$ mit $$F_1 = xyz - \sqrt{y^2+1} \cosh(z)$$ $$F_2 = x^2 + \log(y^2+1) \cos(z)$$ $$F_3 = x^2 y^2 - \frac{2y \sin(z)}{y^2+1} + z^2$$ Berechnung der partiellen Ableitungen: $$\frac{\partial F_1}{\partial x} = yz$$ $$\frac{\partial F_2}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(x^2 + \log(y^2+1) \cos(z)\right) = \frac{2y}{y^2+1} \cos(z)$$ $$\frac{\partial F_3}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left(x^2 y^2 - \frac{2y \sin(z)}{y^2+1} + z^2\right) = -\frac{2y \cos(z)}{y^2+1} + 2z$$ 4. **Summe der Ableitungen:** $$\mathrm{div} F = yz + \frac{2y}{y^2+1} \cos(z) - \frac{2y \cos(z)}{y^2+1} + 2z = yz + 0 + 2z = yz + 2z$$ Da sich die Terme mit $\cos(z)$ aufheben. 5. **Volumenintegral über $K$:** $$\iiint_K \mathrm{div} F \, dV = \iiint_K (yz + 2z) \, dV = \iiint_K yz \, dV + 2 \iiint_K z \, dV$$ Symmetrie beachten: - $yz$ ist ungerade in $y$, $K$ ist symmetrisch in $y$, daher $$\iiint_K yz \, dV = 0$$ - Für $2 \iiint_K z \, dV$ nutzen wir Kugelkoordinaten mit $r \in [0,1]$, $\theta \in [0,\pi/2]$ (Polwinkel, da $z \geq 0$), $\phi \in [0,2\pi]$ (Azimutwinkel): $$x = r \sin\theta \cos\phi, \quad y = r \sin\theta \sin\phi, \quad z = r \cos\theta$$ Volumenelement: $$dV = r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi$$ Integral: $$2 \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/2} \int_0^1 r \cos\theta \cdot r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi = 2 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi/2} \cos\theta \sin\theta \, d\theta \int_0^1 r^3 \, dr$$ Berechnung der Integrale: $$\int_0^1 r^3 \, dr = \frac{1}{4}$$ $$\int_0^{\pi/2} \cos\theta \sin\theta \, d\theta = \frac{1}{2}$$ $$\int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi$$ Also: $$2 \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = 2 \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{8} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$ 6. **Fluss durch $S$:** Nach dem Divergenzsatz ist $$\iint_S F \cdot d\mathbf{o} = \iiint_K \mathrm{div} F \, dV = \frac{\pi}{2}$$ **Endergebnisse:** $$\mathrm{div} F(x,y,z) = yz + 2z$$ $$\iiint_K \mathrm{div} F \, dV = \frac{\pi}{2}$$ $$\iint_S F \cdot d\mathbf{o} = \frac{\pi}{2}$$