1. **Problemstellung:** Gegeben sind die Preisabsatzfunktion $p(x) = -2x + 24$ und die Kostenfunktion $K(x) = 6x + 28$ eines produzierenden Unternehmens. 2. **Erlösfunktion aufstellen:** Der Erlös $E(x)$ ist das Produkt aus Menge $x$ und Preis $p(x)$: $$E(x) = x \cdot p(x) = x \cdot (-2x + 24)$$ 3. **Erlösfunktion vereinfachen:** $$E(x) = -2x^2 + 24x$$ 4. **Gewinnfunktion aufstellen:** Der Gewinn $G(x)$ ist Erlös minus Kosten: $$G(x) = E(x) - K(x) = (-2x^2 + 24x) - (6x + 28)$$ 5. **Gewinnfunktion vereinfachen:** $$G(x) = -2x^2 + 24x - 6x - 28 = -2x^2 + 18x - 28$$ 6. **Berechnung bei $x=10$ ME:** - Erlös: $$E(10) = -2 \cdot 10^2 + 24 \cdot 10 = -200 + 240 = 40$$ - Kosten: $$K(10) = 6 \cdot 10 + 28 = 60 + 28 = 88$$ - Gewinn: $$G(10) = E(10) - K(10) = 40 - 88 = -48$$ 7. **Ausbringungsmenge für Erlös $70$ bestimmen:** Setze $E(x) = 70$: $$-2x^2 + 24x = 70$$ $$-2x^2 + 24x - 70 = 0$$ Teile durch $-2$: $$\cancel{-2}x^2 - \cancel{24}x + \cancel{70} = 0 \Rightarrow x^2 - 12x + 35 = 0$$ Löse mit Mitternachtsformel: $$x = \frac{12 \pm \sqrt{12^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 140}}{2} = \frac{12 \pm 2}{2}$$ Also: $$x_1 = \frac{12 + 2}{2} = 7, \quad x_2 = \frac{12 - 2}{2} = 5$$ 8. **Gewinnzone bestimmen (wo $G(x) \geq 0$):** Setze $G(x) = 0$: $$-2x^2 + 18x - 28 = 0$$ Teile durch $-2$: $$x^2 - 9x + 14 = 0$$ Löse: $$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2}$$ $$x_1 = 7, \quad x_2 = 2$$ Da $a = -2 < 0$, Parabel nach unten geöffnet, Gewinnzone zwischen den Nullstellen: $$2 \leq x \leq 7$$ 9. **Erlösmaximale Ausbringungsmenge und maximaler Erlös:** Erlösfunktion $E(x) = -2x^2 + 24x$ ist eine nach unten geöffnete Parabel. Scheitelpunkt bei: $$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{24}{2 \cdot (-2)} = 6$$ Maximaler Erlös: $$E(6) = -2 \cdot 6^2 + 24 \cdot 6 = -72 + 144 = 72$$ 10. **Gewinnmaximale Ausbringungsmenge und maximaler Gewinn:** Gewinnfunktion $G(x) = -2x^2 + 18x - 28$ hat Scheitelpunkt bei: $$x = -\frac{18}{2 \cdot (-2)} = 4.5$$ Maximaler Gewinn: $$G(4.5) = -2 \cdot (4.5)^2 + 18 \cdot 4.5 - 28 = -40.5 + 81 - 28 = 12.5$$ 11. **Zusatzaufgabe: Neue Preisabsatzfunktion $p(x) = -2x + 28$** Neue Gewinnfunktion: $$G_{neu}(x) = x \cdot (-2x + 28) - (6x + 28) = -2x^2 + 28x - 6x - 28 = -2x^2 + 22x - 28$$ 12. **Gewinnmaximale Ausbringungsmenge und maximaler Gewinn neu:** Scheitelpunkt: $$x = -\frac{22}{2 \cdot (-2)} = 5.5$$ Maximaler Gewinn: $$G_{neu}(5.5) = -2 \cdot (5.5)^2 + 22 \cdot 5.5 - 28 = -60.5 + 121 - 28 = 32.5$$ 13. **Vergleich und Beurteilung:** Der maximale Gewinn steigt von 12.5 auf 32.5 durch Werbung. Die gewinnmaximale Menge erhöht sich von 4.5 auf 5.5. Die Werbemaßnahme lohnt sich, da der Gewinn deutlich steigt. --- **Endergebnis:** - Erlösfunktion: $E(x) = -2x^2 + 24x$ - Gewinnfunktion: $G(x) = -2x^2 + 18x - 28$ - Erlös bei $x=10$: 40 - Kosten bei $x=10$: 88 - Gewinn bei $x=10$: -48 (Verlust) - Erlös $70$ bei $x=5$ oder $x=7$ - Gewinnzone: $2 \leq x \leq 7$ - Erlösmaximal: $x=6$, $E=72$ - Gewinnmaximal: $x=4.5$, $G=12.5$ - Neue Gewinnfunktion mit Werbung: $G_{neu}(x) = -2x^2 + 22x - 28$ - Neuer maximaler Gewinn: $x=5.5$, $G=32.5$ - Werbung lohnt sich.