1. Plantegem el problema: Tenim la matriu $$\begin{pmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 0 & p & 6 \\ 9 & 7 & 9 \end{pmatrix}$$ i volem trobar per a quin valor de $p$ el rang de la matriu no és 3. 2. Recordem que el rang d'una matriu és el nombre màxim de files o columnes linealment independents. 3. Per a una matriu $3 \times 3$, el rang és 3 si i només si el determinant és diferent de zero. 4. Calculem el determinant de la matriu: $$\det = 3 \cdot \begin{vmatrix} p & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 6 \\ 9 & 9 \end{vmatrix} + 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & p \\ 9 & 7 \end{vmatrix}$$ 5. Desenvolupem els determinants de les submatrius: $$\begin{vmatrix} p & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = p \cdot 9 - 6 \cdot 7 = 9p - 42$$ $$\begin{vmatrix} 0 & p \\ 9 & 7 \end{vmatrix} = 0 \cdot 7 - p \cdot 9 = -9p$$ 6. Substituïm i simplifiquem: $$\det = 3(9p - 42) + 2(-9p) = 27p - 126 - 18p = 9p - 126$$ 7. Perquè el rang no sigui 3, el determinant ha de ser zero: $$9p - 126 = 0$$ 8. Resolem per $p$: $$9p = 126$$ $$p = \frac{126}{9} = 14$$ Resposta final: El rang de la matriu no és 3 quan $p = 14$.