1. Plantegem el sistema d'equacions lineals donat: $$\begin{cases} 9x + y - z = -4 \\ x + 2y + 3z = 2 \\ 3x - 2y + 2z = 1 \end{cases}$$ 2. El problema demana per quin valor del paràmetre $p$ el sistema té una única solució. 3. Per a sistemes lineals, una única solució existeix quan el determinant de la matriu dels coeficients és diferent de zero. 4. Construïm la matriu dels coeficients: $$A = \begin{pmatrix} 9 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 2 \end{pmatrix}$$ 5. Calculem el determinant de $A$: $$\det(A) = 9 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + (-1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix}$$ 6. Calculem cada menor: $$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 3 \cdot (-2) = 4 + 6 = 10$$ $$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 - 3 \cdot 3 = 2 - 9 = -7$$ $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) - 2 \cdot 3 = -2 - 6 = -8$$ 7. Substituïm els valors: $$\det(A) = 9 \cdot 10 - 1 \cdot (-7) + (-1) \cdot (-8) = 90 + 7 + 8 = 105$$ 8. Com que $\det(A) = 105 \neq 0$, el sistema té una única solució per a qualsevol valor de $p$. 9. Per tant, el sistema té una única solució per a tot $p \in \mathbb{R}$.