1. **Planteamiento del problema:** Queremos construir una aplicación lineal $f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ tal que su núcleo $\text{Ker}(f)$ sea exactamente el subespacio $$S = \{(x_1,x_2,x_3) \in \mathbb{R}^3 \mid \begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\ 3x_1 - x_2 = 0 \end{cases} \}.$$ Además, clasificaremos la aplicación y verificaremos si el vector $(1,3,4)$ pertenece a $\text{Ker}(f)$. 2. **Entendiendo el núcleo y el subespacio $S$:** El núcleo de $f$ es el conjunto de vectores que se anulan bajo $f$, es decir, $$\text{Ker}(f) = \{v \in \mathbb{R}^3 : f(v) = 0\}.$$ Queremos que $\text{Ker}(f) = S$. 3. **Encontrar una base de $S$:** Resolvemos el sistema: $$\begin{cases} x_1 + x_2 - x_3 = 0 \\ 3x_1 - x_2 = 0 \end{cases}$$ De la segunda ecuación: $$3x_1 - x_2 = 0 \implies x_2 = 3x_1.$$ Sustituyendo en la primera: $$x_1 + 3x_1 - x_3 = 0 \implies 4x_1 = x_3 \implies x_3 = 4x_1.$$ Por lo tanto, los vectores en $S$ son: $$ (x_1, x_2, x_3) = (x_1, 3x_1, 4x_1) = x_1(1,3,4).$$ Así, una base de $S$ es $\{(1,3,4)\}$ y $\dim(S) = 1$. 4. **Construcción de la aplicación lineal $f$ con núcleo $S$:** Para que $\text{Ker}(f) = S$, $f$ debe anular exactamente los vectores de $S$ y no otros. Una forma es definir $f$ como una aplicación que mide la distancia a $S$ o que anula $S$ y es inyectiva en un complemento. Podemos definir $f$ como: $$f(x) = Ax,$$ donde $A$ es una matriz $3 \times 3$ tal que $\text{Ker}(A) = S$. 5. **Encontrar la matriz $A$:** El núcleo de $A$ es el espacio solución de $Ax=0$. Como $S$ está definido por dos ecuaciones lineales, podemos tomar esas ecuaciones como filas de $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$ Esta matriz tiene núcleo $S$ porque las filas son las ecuaciones que definen $S$. 6. **Clasificación de la aplicación lineal:** La matriz $A$ tiene rango 2 (dos filas linealmente independientes), por lo que $$\text{dim} (\text{Im}(f)) = 2,$$ $$\text{dim} (\text{Ker}(f)) = 3 - 2 = 1,$$ coincidiendo con $\dim(S) = 1$. Por lo tanto, $f$ es una aplicación lineal no inyectiva (porque el núcleo no es trivial) y no sobreyectiva (porque la imagen es un subespacio de dimensión 2 en $\mathbb{R}^3$). 7. **Verificar si el vector $(1,3,4)$ pertenece a $\text{Ker}(f)$:** Calculamos: $$f(1,3,4) = A \begin{pmatrix}1 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + (-1) \cdot 4 \\ 3 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 + 0 \cdot 4 \\ 0 \cdot 1 + 0 \cdot 3 + 0 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 + 3 - 4 \\ 3 - 3 + 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}.$$ Como $f(1,3,4) = 0$, el vector $(1,3,4)$ pertenece a $\text{Ker}(f)$. **Respuesta final:** $$f(x) = \begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\ 3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} x,$$ con núcleo $S$, $f$ es lineal no inyectiva y no sobreyectiva, y $(1,3,4) \in \text{Ker}(f)$.