1. Planteamos el problema: Dado el conjunto de vectores $A=\{(3,-1,2),(-1,2,1),(2,1,3),(4,-3,1)\}$ en $\mathbb{R}^3$, debemos hallar la forma, dimensión y una base del subespacio generado por $A$. 2. Recordemos que la base de un subespacio generado por un conjunto de vectores es un subconjunto linealmente independiente que genera el mismo subespacio. 3. Para hallar la base, formamos la matriz con los vectores como filas: $$\begin{pmatrix} 3 & -1 & 2 \\ -1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 4 & -3 & 1 \end{pmatrix}$$ 4. Aplicamos operaciones elementales para encontrar la fila escalonada reducida y determinar la independencia lineal: - Sumamos la fila 2 a la fila 1: $$\begin{pmatrix} 3+(-1) & -1+2 & 2+1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 4 & -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 4 & -3 & 1 \end{pmatrix}$$ - Observamos que la fila 3 es igual a la fila 1, por lo que es linealmente dependiente y se puede eliminar. - Ahora la matriz es: $$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 1 \\ 4 & -3 & 1 \end{pmatrix}$$ - Multiplicamos la fila 1 por $\frac{1}{2}$: $$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ -1 & 2 & 1 \\ 4 & -3 & 1 \end{pmatrix}$$ - Sumamos la fila 1 a la fila 2: $$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & \frac{5}{2} & \frac{5}{2} \\ 4 & -3 & 1 \end{pmatrix}$$ - Restamos 4 veces la fila 1 a la fila 3: $$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & \frac{5}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & -5 & -5 \end{pmatrix}$$ - Multiplicamos la fila 2 por $\frac{2}{5}$: $$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -5 & -5 \end{pmatrix}$$ - Sumamos 5 veces la fila 2 a la fila 3: $$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 5. La fila 3 es cero, por lo que la dimensión del subespacio generado es 2. 6. La base está dada por los vectores correspondientes a las filas no nulas originales, que son: $$\{(3,-1,2), (-1,2,1)\}$$ 7. Para la parte b), queremos expresar el vector $(1,2,1)$ como combinación lineal de la base: $$\alpha (3,-1,2) + \beta (-1,2,1) = (1,2,1)$$ 8. Esto da el sistema: $$\begin{cases} 3\alpha - \beta = 1 \\ -\alpha + 2\beta = 2 \\ 2\alpha + \beta = 1 \end{cases}$$ 9. Resolvemos el sistema: - De la primera ecuación: $\beta = 3\alpha - 1$ - Sustituimos en la segunda: $$-\alpha + 2(3\alpha - 1) = 2 \Rightarrow -\alpha + 6\alpha - 2 = 2 \Rightarrow 5\alpha = 4 \Rightarrow \alpha = \frac{4}{5}$$ - Entonces $\beta = 3 \times \frac{4}{5} - 1 = \frac{12}{5} - 1 = \frac{7}{5}$ 10. Verificamos con la tercera ecuación: $$2 \times \frac{4}{5} + \frac{7}{5} = \frac{8}{5} + \frac{7}{5} = \frac{15}{5} = 3 \neq 1$$ 11. Hay inconsistencia, por lo que $(1,2,1)$ no puede escribirse como combinación lineal de la base encontrada. 12. Resumen: - La forma del subespacio es un plano en $\mathbb{R}^3$. - La dimensión es 2. - Una base es $\{(3,-1,2), (-1,2,1)\}$. - El vector $(1,2,1)$ no pertenece al subespacio generado por $A$ y no puede expresarse como combinación lineal de la base. La base se obtuvo eliminando vectores linealmente dependientes mediante reducción por filas, quedando los vectores que generan el subespacio sin redundancia.