1. Planteamos el problema: Tenemos tres vectores en $\mathbb{R}^3$: $$\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix}4\\4\\-6\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix}-8\\4\\-24\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v}_3 = \begin{pmatrix}-4\\0\\-6\end{pmatrix}$$ Queremos determinar si estos vectores son linealmente independientes o dependientes. 2. Para esto, usamos la definición: Los vectores son linealmente dependientes si existen escalares $a,b,c$, no todos cero, tales que $$a\mathbf{v}_1 + b\mathbf{v}_2 + c\mathbf{v}_3 = \mathbf{0}$$ 3. Esto se traduce en el sistema homogéneo: $$a\begin{pmatrix}4\\4\\-6\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}-8\\4\\-24\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}-4\\0\\-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$ 4. Escribimos las ecuaciones por componentes: $$\begin{cases} 4a - 8b - 4c = 0 \\ 4a + 4b + 0c = 0 \\ -6a - 24b - 6c = 0 \end{cases}$$ 5. Simplificamos la primera y tercera ecuación dividiendo por 2 y 6 respectivamente para facilitar: $$\begin{cases} 2a - 4b - 2c = 0 \\ 4a + 4b = 0 \\ - a - 4b - c = 0 \end{cases}$$ 6. De la segunda ecuación despejamos: $$4a + 4b = 0 \implies \cancel{4}a + \cancel{4}b = 0 \implies a + b = 0 \implies a = -b$$ 7. Sustituimos $a = -b$ en la primera ecuación: $$2(-b) - 4b - 2c = 0 \implies -2b - 4b - 2c = 0 \implies -6b - 2c = 0$$ 8. Simplificamos dividiendo por -2: $$\cancel{-6}b + \cancel{-2}c = 0 \implies 3b + c = 0 \implies c = -3b$$ 9. Sustituimos $a = -b$ y $c = -3b$ en la tercera ecuación: $$-(-b) - 4b - (-3b) = 0 \implies b - 4b + 3b = 0 \implies 0 = 0$$ 10. La última ecuación se cumple para cualquier $b$, por lo que hay infinitas soluciones no triviales. 11. Concluimos que los vectores son linealmente dependientes porque existen escalares no todos cero que satisfacen la combinación lineal nula. 12. Por ejemplo, tomando $b=1$, obtenemos: $$a = -1, \quad b = 1, \quad c = -3$$ 13. Verificación: $$-1 \cdot \mathbf{v}_1 + 1 \cdot \mathbf{v}_2 - 3 \cdot \mathbf{v}_3 = \mathbf{0}$$ Respuesta final: Los vectores dados son linealmente dependientes.