1. El problema consiste en determinar cuáles de las aplicaciones dadas son homomorfismos lineales. 2. Recordemos que una aplicación $f : V \to W$ entre espacios vectoriales es un homomorfismo (o transformación lineal) si y solo si para todo $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ y todo escalar $c$ se cumple: $$ \begin{cases} f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v}) \\ f(c\mathbf{v}) = c f(\mathbf{v}) \end{cases} $$ 3. Analizamos cada función: **a) $f(\mathbf{v}) = \mathbf{v} + \mathbf{v}_0$, con $\mathbf{v}_0$ fijo:** - Probamos la aditividad: $$ f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{v}_0 = \mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{v}_0$$ $$ f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v}) = (\mathbf{u} + \mathbf{v}_0) + (\mathbf{v} + \mathbf{v}_0) = \mathbf{u} + \mathbf{v} + 2\mathbf{v}_0$$ - Como $\mathbf{v}_0 \neq \mathbf{0}$, no se cumple la aditividad, por lo que $f$ no es homomorfismo. **b) $g(\mathbf{v}) = \mathbf{v}_0$ constante:** - Para cualquier $\mathbf{u}, \mathbf{v}$, $$ g(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \mathbf{v}_0$$ $$ g(\mathbf{u}) + g(\mathbf{v}) = \mathbf{v}_0 + \mathbf{v}_0 = 2\mathbf{v}_0$$ - No se cumple la aditividad, por lo que $g$ no es homomorfismo. **c) $h(\mathbf{v}) = (v_1^2, 0, v_2 + v_3)$:** - La componente $v_1^2$ no es lineal (cuadrática), por lo que $h$ no es homomorfismo. **d) $i(\mathbf{v}) = (3v_1 - 2v_2 - v_3 - 4v_4, v_1 + v_2 - 2v_3 - 3v_4)$:** - Es una combinación lineal de las componentes de $\mathbf{v}$, por lo que $i$ es homomorfismo. **e) $j(\mathbf{v}) = v_1^2 + v_2^2$:** - No es lineal por la presencia de términos cuadrados, por lo que $j$ no es homomorfismo. **f) $k[p(x)] = x p'(x)$, con $p'(x)$ la derivada de $p(x)$:** - La derivada es lineal y la multiplicación por $x$ es lineal en el espacio de polinomios de grado $\leq 3$. - Verificamos linealidad: $$ k[a p(x) + b q(x)] = x (a p'(x) + b q'(x)) = a x p'(x) + b x q'(x) = a k[p(x)] + b k[q(x)] $$ - Por lo tanto, $k$ es homomorfismo. **Respuesta final:** - Son homomorfismos: $i$ y $k$. - No son homomorfismos: $a$, $b$, $c$, $e$.