Question: 2) Sean las siguientes transformaciones lineales $G$ y $F$:
$G: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ definida por $G(x,y,z) = (x + y, x + z)$,
$F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ cuya matriz asociada en las bases canónicas es $M(F) = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$.
a) Hallar $k \in \mathbb{R}$, si existe, para que $G \circ F$ sea un isomorfismo.
b) Si $k = -2$ hallar base di...
1. **Planteamiento del problema:**
Se tienen dos transformaciones lineales:
- $G: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ definida por $G(x,y,z) = (x + y, x + z)$.
- $F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ con matriz asociada en bases canónicas
$$M(F) = \begin{pmatrix} 1 & k \\ 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}.$$
Se pide:
a) Encontrar $k$ para que $G \circ F$ sea un isomorfismo.
b) Para $k = -2$, hallar base di... (problema incompleto, se resuelve solo a).
2. **Recordatorio y fórmula:**
- Una transformación lineal es isomorfismo si es biyectiva.
- Para transformaciones entre espacios vectoriales de dimensión finita, es isomorfismo si y solo si la matriz asociada es invertible.
- La composición $G \circ F: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ tiene matriz $M(G \circ F) = M(G) \cdot M(F)$.
3. **Matriz de $G$:**
La transformación $G$ se puede escribir como
$$G(x,y,z) = (x + y, x + z) = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}.$$
Por lo tanto,
$$M(G) = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$
4. **Matriz de la composición $G \circ F$:**
Multiplicamos matrices:
$$M(G \circ F) = M(G) \cdot M(F) = \begin{pmatrix}1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & k \\ 1 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}.$$
Calculamos cada entrada:
- Primera fila, primera columna:
$$1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 3 = 1 + 1 + 0 = 2.$$
- Primera fila, segunda columna:
$$1 \cdot k + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = k + 1 + 0 = k + 1.$$
- Segunda fila, primera columna:
$$1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 3 = 1 + 0 + 3 = 4.$$
- Segunda fila, segunda columna:
$$1 \cdot k + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = k + 0 + 0 = k.$$
Entonces,
$$M(G \circ F) = \begin{pmatrix}2 & k + 1 \\ 4 & k \end{pmatrix}.$$
5. **Condición para que $G \circ F$ sea isomorfismo:**
La matriz debe ser invertible, es decir, su determinante no debe ser cero:
$$\det(M(G \circ F)) = 2 \cdot k - 4 \cdot (k + 1) \neq 0.$$
Calculamos:
$$2k - 4(k + 1) = 2k - 4k - 4 = -2k - 4.$$
6. **Resolver la desigualdad:**
$$-2k - 4 \neq 0 \implies -2k \neq 4 \implies k \neq -2.$$
**Conclusión:**
Para que $G \circ F$ sea un isomorfismo, debe cumplirse
$$k \neq -2.$$