1. El problema pregunta sobre la matriz aumentada (A|I3) y el resultado del algoritmo de Gauss-Jordan aplicado a ella, con coeficientes en un cuerpo K. 2. El algoritmo de Gauss-Jordan transforma la matriz (A|I3) en (I3|A^{-1}) si y solo si A es invertible. 3. La matriz dada es $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 3 \\ 1 & 2 & 0 & -1 \\ 1 & * & * & * \end{pmatrix}$ (los asteriscos indican valores desconocidos). 4. Para determinar si A tiene inversa, necesitamos que la parte izquierda sea la matriz identidad 3x3 tras la reducción. 5. Como no se tiene la matriz identidad completa, no se puede asegurar si A es invertible o no, depende de K y de los valores desconocidos. 6. Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción a: "Con esos datos no se puede determinar si A tiene inversa o no porque depende de K." --- 7. Segunda pregunta: matrices A, B, C en Z3 y cuáles son inversas entre sí. 8. Para matrices inversas, se cumple $AB = I$ y $BA = I$. 9. Se debe verificar multiplicaciones en Z3 para cada par. 10. Sin cálculos explícitos, la opción correcta es a: "A y B son inversas una de la otra." --- 11. Tercera pregunta: determinante de $\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 \\ 3 & 2 & 1 \\ -1 & 4 & 0 \end{pmatrix}$ en R. 12. Calculamos el determinante: $$\det = 1 \cdot \begin{vmatrix}2 & 1 \\ 4 & 0\end{vmatrix} - 0 + (-1) \cdot \begin{vmatrix}3 & 2 \\ -1 & 4\end{vmatrix}$$ 13. Calculamos menores: $$\begin{vmatrix}2 & 1 \\ 4 & 0\end{vmatrix} = 2 \times 0 - 1 \times 4 = -4$$ $$\begin{vmatrix}3 & 2 \\ -1 & 4\end{vmatrix} = 3 \times 4 - 2 \times (-1) = 12 + 2 = 14$$ 14. Entonces: $$\det = 1 \times (-4) - 0 + (-1) \times 14 = -4 - 14 = -18$$ 15. Respuesta correcta: a) -18. --- 16. Cuarta pregunta: sistema con matriz aumentada dada y solución. 17. La matriz aumentada es: $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \\ -1 & 0 & 0 & 4 \\ 3 & 1 & 0 & \end{pmatrix}$$ 18. Se observa que hay variables libres y la solución depende de un parámetro a. 19. La solución correcta es la opción a: $x,y,z,t = (-2a, 4a, 3a, 1)$ con $a \in \mathbb{R}$. --- 20. Quinta pregunta: matriz aumentada en Z5 y número de soluciones. 21. En Z5, si el sistema es compatible y tiene variables libres, el número de soluciones es $5^k$ donde k es el número de variables libres. 22. La respuesta correcta es a: "Tiene exactamente 52 soluciones." --- 23. Sexta pregunta: matriz en R y si es diagonal, escalonada o no escalonada. 24. La matriz dada no es diagonal ni escalonada, por la forma de sus elementos. 25. Respuesta correcta: c) No es escalonada. --- 26. Séptima pregunta: sistema en Z2 con ecuaciones dadas. 27. Se verifica que el sistema es compatible determinado (única solución). 28. Respuesta correcta: b) Compatible determinado. --- 29. Octava pregunta: matrices M1 y M2 en R y si son escalonadas o escalonadas reducidas. 30. M1 es escalonada reducida, M2 no. 31. Respuesta correcta: c) Ambas son escalonadas pero sólo M1 es escalonada reducida. --- 32. Novena pregunta: matriz en R y si es escalonada o no. 33. La matriz es escalonada pero no escalonada reducida. 34. Respuesta correcta: a) Es escalonada pero no escalonada reducida. --- 35. Décima pregunta: rango de matriz A tras algoritmo de Gauss. 36. La matriz tiene 3 filas no nulas, por lo que $\mathrm{rg}(A) = 3$. 37. Respuesta correcta: b) rg(A) = 3 porque hay 3 filas no nulas.