1. Planteamos el problema: Dadas aplicaciones lineales, debemos calcular las matrices que las representan en las bases usuales de los espacios vectoriales original y final. 2. Además, debemos encontrar el núcleo y la imagen de cada aplicación, determinando sus dimensiones y bases. 3. Para una aplicación lineal $T: V \to W$, la matriz asociada en bases usuales se obtiene aplicando $T$ a cada vector de la base de $V$ y expresando el resultado en la base de $W$. 4. El núcleo de $T$ es el conjunto de vectores $v \in V$ tales que $T(v) = 0$. 5. La imagen de $T$ es el conjunto de vectores $w \in W$ tales que $w = T(v)$ para algún $v \in V$. 6. Para hallar el núcleo, resolvemos el sistema homogéneo $T(v) = 0$. 7. Para hallar la imagen, tomamos las columnas de la matriz de $T$ y determinamos su espacio generado. 8. La dimensión del núcleo es el número de vectores en una base del núcleo, y la dimensión de la imagen es el rango de la matriz. 9. Sin datos específicos de las aplicaciones lineales, no podemos calcular matrices, núcleos ni imágenes concretas. 10. Por favor, proporcione las aplicaciones lineales o sus definiciones para continuar con los cálculos.