1. **Planteamiento del problema:** Dadas tres matrices cuadradas $A$, $B$ y $C$ de tamaño $n \times n$ con las siguientes propiedades: - $A$ es simétrica: $A = A^T$ - $B$ es involutiva: $B^2 = I$ (la matriz identidad) - $C$ es idempotente: $C^2 = C$ Se pide determinar el resultado de las operaciones matriciales: a) $\left(A^T B^T\right)^T$ b) $B^2 C^T$ --- 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - La traspuesta de un producto de matrices se invierte el orden y se trasponen cada una: $\left(XY\right)^T = Y^T X^T$ - Para matrices simétricas: $A = A^T$ - Para matrices involutivas: $B^2 = I$ - Para matrices idempotentes: $C^2 = C$ --- 3. **Resolución a):** $$\left(A^T B^T\right)^T = \left(B^T\right)^T \left(A^T\right)^T = B A$$ Pero como $A$ es simétrica, $A = A^T$, entonces: $$\left(A^T B^T\right)^T = B A$$ --- 4. **Resolución b):** Dado que $B$ es involutiva, $B^2 = I$, y $C$ es idempotente, pero aquí solo necesitamos la traspuesta de $C$. Entonces: $$B^2 C^T = I C^T = C^T$$ --- **Respuesta final:** \begin{align*} \text{a) } & \left(A^T B^T\right)^T = B A \\ \text{b) } & B^2 C^T = C^T \end{align*}