1. Planteamos el problema: Dada la ecuación matricial $$AX - B + C = 0$$ con matrices $$A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ -2 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -3 & 0 \end{pmatrix}$$ 2. Calculamos la inversa de $$A$$ usando la definición: $$A^{-1} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ tal que $$A \cdot A^{-1} = I$$, la matriz identidad. 3. Multiplicamos $$A$$ por $$A^{-1}$$: $$\begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4a + c & 4b + d \\ -a & -b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 4. Igualamos elementos para obtener el sistema: $$\begin{cases} 4a + c = 1 \\ 4b + d = 0 \\ -a = 0 \\ -b = 1 \end{cases}$$ 5. Resolviendo: $$a = 0, \quad b = -1, \quad c = 1, \quad d = 4$$ 6. Por lo tanto, $$A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$$ 7. Ahora resolvemos la ecuación para $$X$$: $$AX - B + C = 0 \Rightarrow AX = B - C \Rightarrow X = A^{-1}(B - C)$$ 8. Calculamos $$B - C$$: $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -1 \\ -2 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -3 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & -2 \\ -3 & -1 & 4 & 0 \end{pmatrix}$$ 9. Multiplicamos $$A^{-1}$$ por $$B - C$$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & -2 \\ -3 & -1 & 4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -4 & 0 \\ -11 & -1 & 14 & -2 \end{pmatrix}$$ 10. Resultado final: $$X = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -4 & 0 \\ -11 & -1 & 14 & -2 \end{pmatrix}$$