1. Planteamos el problema: Dado que $(x_0,y_0,z_0)$ es una solución del sistema de ecuaciones lineales, debemos demostrar que cualquier solución puede expresarse como $(x_0+at, y_0+bt, z_0+ct)$ para todo $a,b,c \in \mathbb{R}$ y algún parámetro $t$. 2. Recordemos que un sistema de ecuaciones lineales homogéneo tiene soluciones que forman un espacio vectorial, y las soluciones generales de un sistema no homogéneo se pueden escribir como la suma de una solución particular y la solución general del sistema homogéneo asociado. 3. Sea $\mathbf{x} = (x,y,z)$ una solución general del sistema, y $\mathbf{x}_0 = (x_0,y_0,z_0)$ una solución particular. 4. Entonces, la diferencia $\mathbf{x} - \mathbf{x}_0$ es solución del sistema homogéneo asociado, es decir, satisface las ecuaciones con término independiente cero. 5. Las soluciones del sistema homogéneo forman un subespacio vectorial, que puede parametrizarse como $\mathbf{v} = (a,b,c)t$ para $a,b,c \in \mathbb{R}$ y parámetro $t$. 6. Por lo tanto, toda solución general se puede escribir como $$\mathbf{x} = \mathbf{x}_0 + \mathbf{v} = (x_0 + at, y_0 + bt, z_0 + ct)$$ para todo $a,b,c \in \mathbb{R}$ y $t$. 7. Esto demuestra que toda solución del sistema se puede expresar en la forma solicitada.