1. El problema nos da la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes en $\mathbb{Z}_5$ y variables $x, y, z, t$: $$\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 3 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array}\right)$$ 2. Este sistema está en forma escalonada reducida. Las filas indican las siguientes ecuaciones: - $x + 3y = 4$ - $z = 3$ - $t = 1$ - $0 = 0$ (sin información adicional) 3. La variable $y$ no está pivoteada, por lo que es libre. Sea $y = a$, con $a \in \mathbb{Z}_5$. 4. De la primera ecuación: $$x + 3a = 4$$ Despejamos $x$: $$x = 4 - 3a$$ En $\mathbb{Z}_5$, restar es sumar el inverso, entonces: $$x = 4 + (-3)a = 4 + 2a$$ porque $-3 \equiv 2 \pmod{5}$. 5. Por lo tanto, la solución general es: $$\begin{cases} x = 2a + 4 \\ y = a \\ z = 3 \\ t = 1 \end{cases} \quad a \in \mathbb{Z}_5$$ 6. Esto coincide con la opción b. 7. La opción a es incorrecta porque sí existe solución. 8. La opción c es incorrecta porque el coeficiente de $a$ en $x$ es $2$, no $3$. Respuesta final: opción b.