Subespacios Dimension F0F002

1. **Planteamiento del problema:** Tenemos dos subespacios de $\mathbb{R}^4$: $$S = \{(x,y,z,w) \in \mathbb{R}^4 : y + z - 2w = 0, \quad x - 2y = 0\}$$ $$T = \mathrm{gen}\{(2,1,a,0), (1,0,0,1)\}$$ Queremos: a) Encontrar $a \in \mathbb{R}$ tal que $\dim(S + T) = 3$. b) Para $a=3$, hallar una base y la dimensión de $T^\perp$. --- 2. **Análisis y fórmulas importantes:** - La dimensión de la suma de dos subespacios se calcula con la fórmula: $$\dim(S + T) = \dim(S) + \dim(T) - \dim(S \cap T)$$ - Para hallar $\dim(S)$, usamos las ecuaciones que definen $S$. - Para $T$, dado que es generado por dos vectores, $\dim(T) \leq 2$. - Para hallar $S \cap T$, buscamos vectores que estén en ambos subespacios. - El ortogonal $T^\perp$ es el conjunto de vectores ortogonales a todos los vectores de $T$. --- 3. **Calcular $\dim(S)$:** Las ecuaciones de $S$ son: $$y + z - 2w = 0 \quad (1)$$ $$x - 2y = 0 \quad (2)$$ De (2): $$x = 2y$$ De (1): $$z = 2w - y$$ Por lo tanto, un vector en $S$ es: $$ (x,y,z,w) = (2y, y, 2w - y, w) = y(2,1,-1,0) + w(0,0,2,1) $$ Los vectores generadores de $S$ son: $$v_1 = (2,1,-1,0), \quad v_2 = (0,0,2,1)$$ Son linealmente independientes, luego: $$\dim(S) = 2$$ --- 4. **Calcular $\dim(T)$:** Los generadores de $T$ son: $$u_1 = (2,1,a,0), \quad u_2 = (1,0,0,1)$$ Para ver si son linealmente independientes, comprobamos si existe $\lambda$ tal que: $$u_2 = \lambda u_1$$ Esto implica: $$1 = 2\lambda, \quad 0 = \lambda, \quad 0 = a\lambda, \quad 1 = 0$$ Esto no es posible, por lo que $u_1$ y $u_2$ son linealmente independientes para todo $a$. Entonces: $$\dim(T) = 2$$ --- 5. **Calcular $\dim(S + T)$ para que sea 3:** Usamos la fórmula: $$\dim(S + T) = \dim(S) + \dim(T) - \dim(S \cap T) = 2 + 2 - \dim(S \cap T)$$ Queremos: $$\dim(S + T) = 3 \implies 4 - \dim(S \cap T) = 3 \implies \dim(S \cap T) = 1$$ Por lo tanto, $S$ y $T$ deben intersectar en un subespacio de dimensión 1. --- 6. **Encontrar $a$ para que $\dim(S \cap T) = 1$:** Buscamos un vector $v$ tal que: $$v \in S \cap T$$ Esto significa que $v$ puede escribirse como: $$v = \alpha v_1 + \beta v_2 = \gamma u_1 + \delta u_2$$ Donde: $$v_1 = (2,1,-1,0), \quad v_2 = (0,0,2,1)$$ $$u_1 = (2,1,a,0), \quad u_2 = (1,0,0,1)$$ Entonces: $$\alpha (2,1,-1,0) + \beta (0,0,2,1) = \gamma (2,1,a,0) + \delta (1,0,0,1)$$ Esto da el sistema: $$2\alpha = 2\gamma + \delta \quad (x)$$ $$\alpha = \gamma \quad (y)$$ $$-\alpha + 2\beta = a\gamma \quad (z)$$ $$\beta = \delta \quad (w)$$ De (y): $$\alpha = \gamma$$ De (w): $$\beta = \delta$$ Sustituimos en (x): $$2\alpha = 2\alpha + \beta \implies 0 = \beta$$ Sustituimos en (z): $$-\alpha + 2\beta = a\alpha \implies -\alpha + 0 = a\alpha \implies -\alpha = a\alpha$$ Si $\alpha \neq 0$ (para que el vector no sea nulo): $$-1 = a \implies a = -1$$ Si $\alpha = 0$, entonces $\beta = 0$ y el vector es nulo, no nos interesa. Por lo tanto, para que $\dim(S \cap T) = 1$, debe ser: $$a = -1$$ --- 7. **Para $a = 3$, hallar base y dimensión de $T^\perp$:** Recordemos que: $$T = \mathrm{gen}\{(2,1,3,0), (1,0,0,1)\}$$ El ortogonal $T^\perp$ es: $$T^\perp = \{x \in \mathbb{R}^4 : x \cdot u_1 = 0, x \cdot u_2 = 0\}$$ Sea $x = (x_1,x_2,x_3,x_4)$, entonces: $$x \cdot (2,1,3,0) = 2x_1 + x_2 + 3x_3 + 0 = 0$$ $$x \cdot (1,0,0,1) = x_1 + 0 + 0 + x_4 = 0$$ Sistema: $$2x_1 + x_2 + 3x_3 = 0 \quad (1)$$ $$x_1 + x_4 = 0 \quad (2)$$ De (2): $$x_4 = -x_1$$ Sustituimos en (1): $$2x_1 + x_2 + 3x_3 = 0$$ Variables libres: $x_1, x_2, x_3$ Expresamos $x_2$ en función de $x_1, x_3$: $$x_2 = -2x_1 - 3x_3$$ Entonces: $$x = (x_1, x_2, x_3, x_4) = (x_1, -2x_1 - 3x_3, x_3, -x_1)$$ Separando en parámetros $x_1$ y $x_3$: $$x = x_1(1, -2, 0, -1) + x_3(0, -3, 1, 0)$$ Por lo tanto, una base de $T^\perp$ es: $$\{(1, -2, 0, -1), (0, -3, 1, 0)\}$$ Y la dimensión es: $$\dim(T^\perp) = 2$$ --- **Respuesta final:** a) $a = -1$ b) Para $a=3$, una base de $T^\perp$ es $\{(1,-2,0,-1), (0,-3,1,0)\}$ y $\dim(T^\perp) = 2$.