1. **Planteamiento del problema:** Queremos definir una transformación lineal $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^4$ tal que: - Núcleo $\mathrm{Nu}(T) = \mathrm{gen}\{(1,0,-2)\}$. - Imagen $\mathrm{Im}(T) = \{(u,v,w,t) \in \mathbb{R}^4 : u = w = -t\}$. 2. **Teoremas y propiedades importantes:** - El núcleo de $T$ es el conjunto de vectores $x$ tales que $T(x) = 0$. - La imagen de $T$ es el conjunto de vectores que pueden escribirse como $T(x)$ para algún $x$. - Por el teorema de la dimensión, $\dim(\mathrm{Nu}(T)) + \dim(\mathrm{Im}(T)) = \dim(\mathbb{R}^3) = 3$. 3. **Determinar dimensiones:** - $\mathrm{Nu}(T)$ está generado por un vector, por lo que $\dim(\mathrm{Nu}(T)) = 1$. - Entonces, $\dim(\mathrm{Im}(T)) = 3 - 1 = 2$. 4. **Caracterizar la imagen:** - La imagen está dada por $\{(u,v,w,t) : u = w = -t\}$. - Esto implica que cualquier vector en la imagen tiene la forma: $$ (u, v, u, -u) = u(1,0,1,-1) + v(0,1,0,0) $$ - Por lo tanto, la imagen está generada por los vectores $\{(1,0,1,-1), (0,1,0,0)\}$. 5. **Construcción de la transformación:** - El núcleo es $\mathrm{gen}\{(1,0,-2)\}$, por lo que $T(1,0,-2) = 0$. - Para definir $T$, elegimos una base de $\mathbb{R}^3$ que incluya $(1,0,-2)$, por ejemplo: $$ \{(1,0,-2), (0,1,0), (0,0,1)\} $$ - Definimos $T$ en los vectores de la base: - $T(1,0,-2) = 0$ (por definición del núcleo). - $T(0,1,0) = (0,1,0,0)$ (uno de los generadores de la imagen). - $T(0,0,1) = (1,0,1,-1)$ (el otro generador de la imagen). 6. **Expresión analítica de $T$:** - Para un vector arbitrario $x = (x,y,z) \in \mathbb{R}^3$, expresamos: $$ x = a(1,0,-2) + b(0,1,0) + c(0,0,1) $$ - Para encontrar $a,b,c$ en función de $x,y,z$: $$ (x,y,z) = (a, b, -2a + c) $$ De aquí: $$ a = x $$ $$ b = y $$ $$ c = z + 2x $$ - Entonces: $$ T(x,y,z) = T(a(1,0,-2) + b(0,1,0) + c(0,0,1)) = aT(1,0,-2) + bT(0,1,0) + cT(0,0,1) $$ $$ = 0 + b(0,1,0,0) + c(1,0,1,-1) = (c, b, c, -c) $$ - Reemplazando $b$ y $c$: $$ T(x,y,z) = (z + 2x, y, z + 2x, -(z + 2x)) $$ 7. **Verificación:** - Verificamos que $T(1,0,-2) = ( -2 + 2*1, 0, -2 + 2*1, -(-2 + 2*1)) = (0,0,0,0)$, cumple el núcleo. - La imagen cumple la condición $u = w = -t$. **Respuesta final:** $$\boxed{T(x,y,z) = (z + 2x, y, z + 2x, -(z + 2x))}$$