Question: 1) Sea la Transformación lineal T: $\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ y $M_{BB'} = \begin{pmatrix}0 & 1 & a \\ 2 & 1 & -1\end{pmatrix}$ su matriz asociada en las bases: $B = \{(1,0,0), (0,1,1), (0,0,1)\}$ y $B' = \{(-1,1), (1,0)\}$.\n\nEncontrar $a$ número real, si existe, el cual verifique que: $T(-1,1,-1) = (-2,3)$\n\n2) a) Determinar la existencia de una transformación lineal $T: \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$ tal que $\mathrm{Nu}(T) = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x = y/2 = z \}$ y $S = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y - z = 0 \}$ es el espacio propio de $T$ asociado al autovalor $\lambda = -1$. Justificar.\n\nb) Indicar si existe una base de $\mathbb{R}^3$ formada por autovectores de $T$ en caso afirmativo obtener la matriz de $T$ respecto a dicha base.
1. **Planteamiento del problema:**
Dada la transformación lineal $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ con matriz asociada en las bases $B$ y $B'$:
$$M_{BB'} = \begin{pmatrix}0 & 1 & a \\ 2 & 1 & -1\end{pmatrix}$$
donde $B = \{(1,0,0), (0,1,1), (0,0,1)\}$ y $B' = \{(-1,1), (1,0)\}$.
Se busca encontrar el valor real $a$ tal que:
$$T(-1,1,-1) = (-2,3)$$
2. **Fórmula y reglas importantes:**
La matriz $M_{BB'}$ representa la transformación $T$ en las bases $B$ y $B'$. Para calcular $T(v)$ para un vector $v$ en coordenadas estándar, primero expresamos $v$ en coordenadas de la base $B$, luego multiplicamos por $M_{BB'}$ para obtener las coordenadas en $B'$, y finalmente convertimos a coordenadas estándar.
3. **Paso 1: Expresar $v = (-1,1,-1)$ en coordenadas de la base $B$**
La base $B$ está formada por:
$$b_1 = (1,0,0), \quad b_2 = (0,1,1), \quad b_3 = (0,0,1)$$
Buscamos escalares $x,y,z$ tales que:
$$x b_1 + y b_2 + z b_3 = (-1,1,-1)$$
Esto es:
$$x(1,0,0) + y(0,1,1) + z(0,0,1) = (x, y, y + z) = (-1,1,-1)$$
Igualando componentes:
\begin{cases}
x = -1 \\
y = 1 \\
y + z = -1
\end{cases}
De la tercera ecuación:
$$z = -1 - y = -1 - 1 = -2$$
Por lo tanto, las coordenadas de $v$ en $B$ son:
$$[v]_B = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix}$$
4. **Paso 2: Calcular $[T(v)]_{B'} = M_{BB'} [v]_B$**
Multiplicamos:
$$\begin{pmatrix}0 & 1 & a \\ 2 & 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + a \cdot (-2) \\ 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 - 2a \\ -2 + 1 + 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 - 2a \\ 1 \end{pmatrix}$$
5. **Paso 3: Convertir $[T(v)]_{B'}$ a coordenadas estándar**
La base $B'$ es:
$$b'_1 = (-1,1), \quad b'_2 = (1,0)$$
Entonces:
$$T(v) = (1 - 2a) b'_1 + 1 \cdot b'_2 = (1 - 2a)(-1,1) + (1,0) = (-(1 - 2a), 1 - 2a) + (1,0) = (-1 + 2a + 1, 1 - 2a + 0) = (2a, 1 - 2a)$$
6. **Paso 4: Igualar con el vector dado $T(-1,1,-1) = (-2,3)$**
$$\begin{cases} 2a = -2 \\ 1 - 2a = 3 \end{cases}$$
De la primera ecuación:
$$a = -1$$
Verificamos en la segunda:
$$1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$$
Lo cual es correcto.
7. **Respuesta:**
El valor real que verifica la condición es:
$$\boxed{a = -1}$$
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**Nota:** La segunda pregunta no se resuelve aquí por la regla de solo resolver la primera pregunta.