1. El problema nos pide identificar cuál afirmación es correcta sobre la matriz $$A = \begin{bmatrix}4 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}$$. 2. Para matrices triangulares (superiores o inferiores), los valores propios son los elementos de la diagonal principal. Aquí, los valores propios son $$\lambda_1 = 4, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 3$$. 3. La ecuación característica se obtiene como $$\det(A - \lambda I) = (4 - \lambda)(2 - \lambda)(3 - \lambda) = 0$$. 4. Por lo tanto, la ecuación característica correcta es $$ (4 - \lambda)(2 - \lambda)(3 - \lambda) = 0 $$ y los valores propios son $$4, 2, 3$$. 5. Ahora, verificamos los vectores propios para cada valor propio: - Para $$\lambda = 4$$, el vector propio debe satisfacer $$(A - 4I)v = 0$$. - Para $$\lambda = 2$$, el vector propio debe satisfacer $$(A - 2I)v = 0$$. - Para $$\lambda = 3$$, el vector propio debe satisfacer $$(A - 3I)v = 0$$. 6. La afirmación que coincide con la ecuación característica correcta, los valores propios correctos y los vectores propios dados es la segunda opción: - Ecuación característica: $$(4 - \lambda)(2 - \lambda)(3 - \lambda) = 0$$ - Valores propios: $$\lambda_1 = 4, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 3$$ - Vectores propios: - Para $$\lambda_1 = 4$$: $$v_1 = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 0 \end{bmatrix}$$ - Para $$\lambda_2 = 2$$: $$v_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix}$$ - Para $$\lambda_3 = 3$$: $$v_3 = \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$$ 7. Por lo tanto, la respuesta correcta es la segunda afirmación.