1. **Enunciado do problema:** Dado o espaço euclidiano $\mathbb{R}^3$ com produto interno definido pela matriz da métrica $$G = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix},$$ indique uma base ortonormal para $\mathbb{R}^3$. 2. **Entendendo o problema:** A matriz $G$ define o produto interno $\langle x,y \rangle = x^T G y$ para vetores $x,y \in \mathbb{R}^3$. Queremos encontrar uma base ortonormal $\{u_1,u_2,u_3\}$ tal que $$\langle u_i,u_j \rangle = \delta_{ij},$$ onde $\delta_{ij}$ é o delta de Kronecker (1 se $i=j$, 0 caso contrário). 3. **Procedimento:** Vamos aplicar o processo de Gram-Schmidt modificado para o produto interno definido por $G$. Começamos com a base canônica $e_1 = (1,0,0)$, $e_2 = (0,1,0)$, $e_3 = (0,0,1)$. 4. **Passo 1: Normalizar $e_1$** Calcule o comprimento de $e_1$: $$\|e_1\| = \sqrt{\langle e_1,e_1 \rangle} = \sqrt{e_1^T G e_1} = \sqrt{1} = 1.$$ Logo, $$u_1 = e_1 = (1,0,0).$$ 5. **Passo 2: Ortogonalizar $e_2$ em relação a $u_1$** Calcule $$\langle e_2,u_1 \rangle = e_2^T G u_1 = (0,1,0) \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} = 0,$$ pois $G u_1 = (1,0,0)^T$ e o produto é zero. Assim, $e_2$ já é ortogonal a $u_1$. Calcule o comprimento de $e_2$: $$\|e_2\| = \sqrt{e_2^T G e_2} = \sqrt{(0,1,0) \begin{bmatrix}0 \\ 2 \\ 1\end{bmatrix}} = \sqrt{2}.$$ Logo, $$u_2 = \frac{e_2}{\sqrt{2}} = \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right).$$ 6. **Passo 3: Ortogonalizar $e_3$ em relação a $u_1$ e $u_2$** Calcule $$\langle e_3,u_1 \rangle = e_3^T G u_1 = (0,0,1) \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix} = 0,$$ pois $G u_1 = (1,0,0)^T$. Calcule $$\langle e_3,u_2 \rangle = e_3^T G u_2 = (0,0,1)^T G \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) = (0,0,1)^T \begin{bmatrix}0 \\ \frac{2}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$ Projete $e_3$ sobre $u_2$: $$\text{proj}_{u_2}(e_3) = \langle e_3,u_2 \rangle u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right) = \left(0, \frac{1}{2}, 0\right).$$ Subtraia a projeção para obter vetor ortogonal a $u_2$: $$v = e_3 - \text{proj}_{u_2}(e_3) = \left(0,0,1\right) - \left(0, \frac{1}{2}, 0\right) = \left(0, -\frac{1}{2}, 1\right).$$ 7. **Normalizar $v$ para obter $u_3$** Calcule $$\|v\| = \sqrt{v^T G v} = \sqrt{\begin{bmatrix}0 & -\frac{1}{2} & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{bmatrix}}.$$ Calcule o produto interno passo a passo: $$G v = \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 \\ -\frac{1}{2} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 2 \times (-\frac{1}{2}) + 1 \times 1 \\ 1 \times (-\frac{1}{2}) + 2 \times 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ -1 + 1 \\ -\frac{1}{2} + 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \end{bmatrix}.$$ Agora, $$v^T G v = \begin{bmatrix}0 & -\frac{1}{2} & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 \\ 0 \\ \frac{3}{2} \end{bmatrix} = 0 + 0 + 1 \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}.$$ Logo, $$\|v\| = \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}.$$ Portanto, $$u_3 = \frac{v}{\|v\|} = \left(0, -\frac{1}{2}, 1\right) \times \frac{2}{\sqrt{6}} = \left(0, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}\right).$$ 8. **Resposta final:** A base ortonormal para $\mathbb{R}^3$ em relação ao produto interno definido por $G$ é $$\boxed{\left\{\left(1,0,0\right), \left(0, \frac{1}{\sqrt{2}}, 0\right), \left(0, -\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}\right)\right\}}.$$