1. **Enunciado do problema:** Dado o referencial $R = ((-1,1);((-2,-1),(1,3)))$ de $A^2$, temos quatro questões: (a) Confirmar que $R$ é um referencial de $A^2$. (b) Determinar as coordenadas do ponto $(0,0) \in A^2$ relativamente a $R$. (c) Determinar o ponto de $A^2$ cujas coordenadas em relação a $R$ são $(0,0)$. (d) Dados os pontos $P, Q \in A^2$ com $[P]_R = (2,1)$ e $[Q]_R = (2,0)$, determinar a direção da reta $r$ que contém $P$ e $Q$. 2. **Fórmulas e regras importantes:** - Um referencial em $A^2$ é formado por um ponto origem e dois vetores linearmente independentes. - Para verificar se $R$ é referencial, os vetores devem ser linearmente independentes. - As coordenadas de um ponto $X$ em relação a $R$ são dadas por $[X]_R = (\alpha, \beta)$ tais que $X = O + \alpha v_1 + \beta v_2$, onde $O$ é a origem e $v_1, v_2$ os vetores do referencial. 3. **(a) Confirmar que $R$ é um referencial:** - Origem: $O = (-1,1)$ - Vetores: $v_1 = (-2,-1)$ e $v_2 = (1,3)$ - Verificar se $v_1$ e $v_2$ são linearmente independentes calculando o determinante da matriz formada por eles: $$\det \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = (-2)(3) - (1)(-1) = -6 + 1 = -5$$ - Como $\det \neq 0$, os vetores são linearmente independentes, logo $R$ é um referencial de $A^2$. 4. **(b) Coordenadas do ponto $(0,0)$ relativamente a $R$:** - Queremos encontrar $(\alpha, \beta)$ tais que: $$ (0,0) = (-1,1) + \alpha(-2,-1) + \beta(1,3) $$ - Escrevendo as componentes: $$ 0 = -1 - 2\alpha + \beta $$ $$ 0 = 1 - \alpha + 3\beta $$ - Sistema: $$ \begin{cases} -1 - 2\alpha + \beta = 0 \\ 1 - \alpha + 3\beta = 0 \end{cases} $$ - Simplificando: $$ \begin{cases} -2\alpha + \beta = 1 \\ -\alpha + 3\beta = -1 \end{cases} $$ - Multiplicando a segunda equação por 2 para eliminar $\alpha$: $$ \begin{cases} -2\alpha + \beta = 1 \\ -2\alpha + 6\beta = -2 \end{cases} $$ - Subtraindo a primeira da segunda: $$ (-2\alpha + 6\beta) - (-2\alpha + \beta) = -2 - 1 $$ $$ 5\beta = -3 \Rightarrow \beta = -\frac{3}{5} $$ - Substituindo $\beta$ na primeira equação: $$ -2\alpha - \frac{3}{5} = 1 \Rightarrow -2\alpha = 1 + \frac{3}{5} = \frac{8}{5} $$ $$ \alpha = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5} $$ - Portanto, as coordenadas são: $$ [ (0,0) ]_R = \left(-\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right) $$ 5. **(c) Ponto de $A^2$ cujas coordenadas em relação a $R$ são $(0,0)$:** - Por definição, o ponto com coordenadas $(0,0)$ em $R$ é a origem do referencial: $$ O + 0 \cdot v_1 + 0 \cdot v_2 = (-1,1) $$ - Logo, o ponto é $(-1,1)$. 6. **(d) Direção da reta $r$ que contém $P$ e $Q$:** - Dados: $$ [P]_R = (2,1), \quad [Q]_R = (2,0) $$ - Coordenadas no sistema canônico: $$ P = O + 2v_1 + 1v_2 = (-1,1) + 2(-2,-1) + (1,3) = (-1,1) + (-4,-2) + (1,3) = (-4,2) $$ $$ Q = O + 2v_1 + 0v_2 = (-1,1) + 2(-2,-1) + (0,0) = (-1,1) + (-4,-2) = (-5,-1) $$ - Vetor direção da reta $r$: $$ \overrightarrow{PQ} = Q - P = (-5,-1) - (-4,2) = (-1,-3) $$ - Portanto, a direção da reta $r$ é dada pelo vetor $(-1,-3)$. **Resposta final:** (a) $R$ é um referencial de $A^2$. (b) $[(0,0)]_R = \left(-\frac{4}{5}, -\frac{3}{5}\right)$. (c) O ponto com coordenadas $(0,0)$ em $R$ é $(-1,1)$. (d) A direção da reta $r$ é o vetor $(-1,-3)$.