1. **Planteamiento del problema.** Se pide hallar la venta total de cada planta usando el producto de matrices. La matriz de producción diaria es $$A=\begin{pmatrix}28&40&21\\16&10&18\\30&27&19\\33&12&25\end{pmatrix}$$ y el vector de precios es $$P=\begin{pmatrix}20\\30\\40\end{pmatrix}$$ La venta total por planta se obtiene con $$AP$$ 2. **Multiplicación de matrices.** Calculamos cada fila por el vector de precios: $$\begin{aligned} V_1&=28\cdot 20+40\cdot 30+21\cdot 40\\ &=560+1200+840\\ &=2600 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} V_2&=16\cdot 20+10\cdot 30+18\cdot 40\\ &=320+300+720\\ &=1340 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} V_3&=30\cdot 20+27\cdot 30+19\cdot 40\\ &=600+810+760\\ &=2170 \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} V_4&=33\cdot 20+12\cdot 30+25\cdot 40\\ &=660+360+1000\\ &=2020 \end{aligned}$$ 3. **Respuesta del ejercicio 1.** Las ventas totales de las plantas son: - Planta 1: $2600$ - Planta 2: $1340$ - Planta 3: $2170$ - Planta 4: $2020$ 4. **Planteamiento del problema.** Se pide hallar la primera derivada de $$f(x)=\frac{1}{4}\cos^2(4x)$$ usando la regla de la cadena. La fórmula general es $$\frac{d}{dx}\bigl[\cos^2(u)\bigr]=2\cos(u)\cdot\bigl(-\sin(u)\bigr)\cdot u'$$ 5. **Derivación paso a paso.** Sea $u=4x$, entonces $u'=4$. $$\begin{aligned} f'(x)&=\frac{1}{4}\cdot \frac{d}{dx}\bigl(\cos^2(4x)\bigr)\\ &=\frac{1}{4}\cdot 2\cos(4x)\cdot\bigl(-\sin(4x)\bigr)\cdot 4\\ &=\frac{1}{4}\cdot (-8\cos(4x)\sin(4x))\\ &=-2\cos(4x)\sin(4x) \end{aligned}$$ Usando la identidad $\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)$, también queda $$f'(x)=-\sin(8x)$$ 6. **Respuesta del ejercicio 2.** $$f'(x)=-2\cos(4x)\sin(4x)=-\sin(8x)$$ 7. **Planteamiento del problema.** Dada la función $$f(x)=x^3+4x^2+4x-2$$ se pide estudiar los intervalos de monotonía y los extremos locales. Primero hallamos la derivada: $$f'(x)=3x^2+8x+4$$ 8. **Factorización de la derivada.** $$\begin{aligned} f'(x)&=3x^2+8x+4\\ &=3x^2+6x+2x+4\\ &=(3x+2)(x+2) \end{aligned}$$ 9. **Puntos críticos.** Resolvemos $$\begin{aligned} (3x+2)(x+2)&=0\\ 3x+2&=0 \quad \text{o} \quad x+2=0\\ x&=-\frac{2}{3} \quad \text{o} \quad x=-2 \end{aligned}$$ 10. **Análisis del signo de la derivada.** Los intervalos a estudiar son $(-\infty,-2)$, $(-2,-\frac{2}{3})$ y $(-\frac{2}{3},\infty)$. - Si $x<-2$, entonces $(3x+2)<0$ y $(x+2)<0$, por tanto $f'(x)>0$. - Si $-20$, por tanto $f'(x)<0$. - Si $x>-\frac{2}{3}$, entonces $(3x+2)>0$ y $(x+2)>0$, por tanto $f'(x)>0$. 11. **Monotonía.** La función es: - creciente en $(-\infty,-2)$ - decreciente en $(-2,-\frac{2}{3})$ - creciente en $(-\frac{2}{3},\infty)$ 12. **Extremos locales.** En $x=-2$, la derivada cambia de positiva a negativa, así que hay un máximo local. $$\begin{aligned} f(-2)&=(-2)^3+4(-2)^2+4(-2)-2\\ &=-8+16-8-2\\ &=-2 \end{aligned}$$ Entonces el máximo local es $(-2,-2)$. En $x=-\frac{2}{3}$, la derivada cambia de negativa a positiva, así que hay un mínimo local. $$\begin{aligned} f\left(-\frac{2}{3}\right)&=\left(-\frac{2}{3}\right)^3+4\left(-\frac{2}{3}\right)^2+4\left(-\frac{2}{3}\right)-2\\ &=-\frac{8}{27}+\frac{16}{9}-\frac{8}{3}-2\\ &=-\frac{98}{27} \end{aligned}$$ Entonces el mínimo local es $\left(-\frac{2}{3},-\frac{98}{27}\right)$. 13. **Respuesta del ejercicio 3.** - Intervalos de monotonía: creciente en $(-\infty,-2)$ y $(-\frac{2}{3},\infty)$, decreciente en $(-2,-\frac{2}{3})$. - Máximo local: $(-2,-2)$. - Mínimo local: $\left(-\frac{2}{3},-\frac{98}{27}\right)$.