1. Planteamos el problema: Dada la función polinomial $$P(x) = x^4 + 4x^2$$, debemos encontrar todos sus ceros reales y complejos, y luego factorizarla completamente. 2. Para encontrar los ceros, igualamos el polinomio a cero: $$x^4 + 4x^2 = 0$$ 3. Observamos que podemos factorizar un término común $x^2$: $$x^2(x^2 + 4) = 0$$ 4. Aplicamos la propiedad del producto cero, que dice que si $$ab=0$$ entonces $$a=0$$ o $$b=0$$. 5. Entonces, igualamos cada factor a cero: - $$x^2 = 0$$ - $$x^2 + 4 = 0$$ 6. Resolviendo cada ecuación: - Para $$x^2 = 0$$, la solución es $$x = 0$$. - Para $$x^2 + 4 = 0$$, restamos 4: $$x^2 = -4$$ 7. Como $$x^2 = -4$$ no tiene soluciones reales, buscamos soluciones complejas usando números imaginarios: $$x = \pm \sqrt{-4} = \pm 2i$$ donde $$i$$ es la unidad imaginaria con $$i^2 = -1$$. 8. Por lo tanto, los ceros de $$P(x)$$ son: $$x = 0, 0, 2i, -2i$$ (el cero es doble por el factor $$x^2$$). 9. Para factorizar completamente $$P(x)$$, usamos los factores encontrados: $$P(x) = x^2(x^2 + 4)$$ 10. El factor $$x^2 + 4$$ se puede factorizar en números complejos como: $$x^2 + 4 = (x - 2i)(x + 2i)$$ 11. Por lo tanto, la factorización completa es: $$P(x) = x^2 (x - 2i)(x + 2i)$$ 12. En resumen: - Ceros reales: $$x = 0$$ (con multiplicidad 2) - Ceros complejos: $$x = 2i, -2i$$ - Factorización completa: $$P(x) = x^2 (x - 2i)(x + 2i)$$