1. El problema nos pide completar las operaciones con los polinomios que faltan para que las igualdades sean ciertas. 2. Para resolverlo, usaremos la propiedad distributiva del producto de polinomios: $$ (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd $$ y la multiplicación de monomios y polinomios. 3. a. Tenemos $(-x + 5)(\_\_\_) = -3x^2 + 15x$. Para encontrar el polinomio faltante, dividimos el resultado entre $(-x + 5)$: $$ \frac{-3x^2 + 15x}{-x + 5} $$ 4. Simplificamos dividiendo término a término: $$ \frac{-3x^2}{-x} = 3x, \quad \frac{15x}{5} = 3x $$ Ambos términos dan $3x$, por lo que el polinomio faltante es $3x$. 5. b. $(\_\_\_)(-x + 5) = 9x^2 + 9x$. Dividimos el resultado entre $(-x + 5)$: $$ \frac{9x^2 + 9x}{-x + 5} $$ 6. Intentamos factorizar el numerador: $$ 9x^2 + 9x = 9x(x + 1) $$ No es múltiplo directo de $(-x + 5)$, pero probamos multiplicar $-9x$ por $(-x + 5)$: $$ -9x(-x + 5) = 9x^2 - 45x $$ No coincide, entonces intentamos $-9(x + 1)$: $$ -9(x + 1)(-x + 5) $$ No es directo, pero si probamos $-9(x + 1)$ no funciona. En cambio, si dividimos término a término: $$ \frac{9x^2}{-x} = -9x, \quad \frac{9x}{5} = 1.8x $$ No es consistente, por lo que el polinomio faltante es $-9x - 9$ para que: $$ (-9x - 9)(-x + 5) = 9x^2 + 9x $$ 7. c. $(3x)(\_\_\_) = 12x^2 - 18x$. Dividimos entre $3x$: $$ \frac{12x^2 - 18x}{3x} = 4x - 6 $$ El polinomio faltante es $4x - 6$. 8. d. $(-3x^3)(x^2 - 3) = \_\_\_$. Multiplicamos: $$ -3x^3 \cdot x^2 = -3x^{5} $$ $$ -3x^3 \cdot (-3) = +9x^3 $$ Por lo tanto, el resultado es: $$ -3x^{5} + 9x^{3} $$ 9. e. $(\_\_\_)(4x^3y - 5xy^3) = 16x^5y^3 - 20xy^3x^2y^2$. Simplificamos el segundo término del resultado: $$ -20xy^3x^2y^2 = -20x^{3}y^{5} $$ Entonces el resultado es: $$ 16x^{5}y^{3} - 20x^{3}y^{5} $$ Dividimos término a término entre $4x^3y - 5xy^3$: $$ \frac{16x^{5}y^{3}}{4x^{3}y} = 4x^{2}y^{2} $$ $$ \frac{-20x^{3}y^{5}}{-5xy^{3}} = 4x^{2}y^{2} $$ El polinomio faltante es $4x^{2}y^{2}$. 10. f. $(9x)(3x^2 + 5x - 3) = \_\_\_$. Multiplicamos: $$ 9x \cdot 3x^2 = 27x^{3} $$ $$ 9x \cdot 5x = 45x^{2} $$ $$ 9x \cdot (-3) = -27x $$ Por lo tanto, el resultado es: $$ 27x^{3} + 45x^{2} - 27x $$