1. Planteamos el problema: Encontrar el conjunto $A$ de valores de $m$ para que la ecuación $mx^2 + (m + 2)x + 1 = 0$ tenga raíces reales y el conjunto $B$ de valores de $k$ para que la ecuación $x(2x + 3) + k = 5$ tenga soluciones reales. Luego hallar $A \cap B$. 2. Para que una ecuación cuadrática $ax^2 + bx + c = 0$ tenga raíces reales, su discriminante debe ser mayor o igual a cero: $$\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$$ 3. Para la ecuación en $m$: $$m x^2 + (m+2)x + 1 = 0$$ $a = m$, $b = m+2$, $c = 1$. Calculamos el discriminante: $$\Delta = (m+2)^2 - 4 \cdot m \cdot 1 = m^2 + 4m + 4 - 4m = m^2 + 4$$ 4. Condición para raíces reales: $$m^2 + 4 \geq 0$$ Esta desigualdad es siempre verdadera para todo $m \in \mathbb{R}$ porque $m^2 \geq 0$ y $4 > 0$. Por lo tanto, el conjunto $A = \mathbb{R}$. 5. Para la ecuación en $k$: $$x(2x + 3) + k = 5 \implies 2x^2 + 3x + k - 5 = 0$$ Reescribimos como: $$2x^2 + 3x + (k - 5) = 0$$ $a = 2$, $b = 3$, $c = k - 5$. 6. Condición para soluciones reales: $$\Delta = b^2 - 4ac \geq 0$$ $$3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (k - 5) \geq 0$$ $$9 - 8(k - 5) \geq 0$$ $$9 - 8k + 40 \geq 0$$ $$49 - 8k \geq 0$$ 7. Despejamos $k$: $$-8k \geq -49 \implies k \leq \frac{49}{8}$$ Por lo tanto, el conjunto $B = ]-\infty; \frac{49}{8}]$. 8. Finalmente, el conjunto $A \cap B = \mathbb{R} \cap ]-\infty; \frac{49}{8}] = ]-\infty; \frac{49}{8}]$. Respuesta correcta: B. ]−∞; 49/8]