1. **Planteamiento del problema:** Queremos encontrar el valor de $a$ para que la función $$f(x) = \begin{cases} 2 + a \cdot \cos x, & x \leq 0 \\ 2^{-x} + 6x - 3, & x > 0 \end{cases}$$ sea continua en todo $\mathbb{R}$. 2. **Condición de continuidad:** Para que $f$ sea continua en $x=0$, debe cumplirse: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = f(0) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$$ 3. **Evaluamos $f(0)$:** Como $0 \leq 0$, usamos la primera rama: $$f(0) = 2 + a \cdot \cos 0 = 2 + a \cdot 1 = 2 + a$$ 4. **Calculamos el límite por la izquierda:** $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (2 + a \cdot \cos x) = 2 + a \cdot \cos 0 = 2 + a$$ 5. **Calculamos el límite por la derecha:** $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (2^{-x} + 6x - 3)$$ Sabemos que $2^{-0} = 1$, entonces: $$= 1 + 6 \cdot 0 - 3 = 1 - 3 = -2$$ 6. **Igualamos para continuidad:** $$2 + a = -2$$ 7. **Despejamos $a$:** $$a = -2 - 2 = -4$$ **Respuesta final:** $$\boxed{a = -4}$$