1. Planteamos el problema: Tenemos la función por partes $$f(x) = \begin{cases} hx + 3 & \text{si } x \geq 1 \\ 3 - hx & \text{si } x < 1 \end{cases}$$ Queremos encontrar el valor de $h$ para que $f$ sea continua en $x=1$. 2. Recordemos que una función es continua en un punto $x=a$ si: $$\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a) = \lim_{x \to a^+} f(x)$$ 3. Calculamos $f(1)$ usando la definición para $x \geq 1$: $$f(1) = h \cdot 1 + 3 = h + 3$$ 4. Calculamos el límite por la izquierda ($x \to 1^-$): $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (3 - hx) = 3 - h \cdot 1 = 3 - h$$ 5. Calculamos el límite por la derecha ($x \to 1^+$): $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (hx + 3) = h \cdot 1 + 3 = h + 3$$ 6. Para que $f$ sea continua en $x=1$, igualamos los límites y el valor de la función: $$3 - h = h + 3$$ 7. Resolvemos la ecuación: $$3 - h = h + 3$$ $$3 - h - h = 3$$ $$3 - 2h = 3$$ $$3 - 3 = 2h$$ $$0 = 2h$$ $$h = 0$$ 8. Por lo tanto, el valor de $h$ que hace que $f$ sea continua en $x=1$ es: $$\boxed{0}$$