1. Planteamos el problema: Convertir números decimales periódicos mixtos, periódicos puros y exactos a fracciones. 2. Fórmulas y reglas importantes: - Para un decimal periódico puro $0.\overline{a}$, la fracción es $\frac{a}{99...9}$ con tantos 9 como cifras periódicas. - Para un decimal periódico mixto $b.c\overline{d}$, la fracción es $\frac{N - M}{10^m(10^n - 1)}$ donde $N$ es el número sin coma, $M$ es la parte no periódica sin coma, $m$ es la cantidad de cifras no periódicas y $n$ la cantidad de cifras periódicas. - Para un decimal exacto, se convierte a fracción con denominador potencia de 10 y se simplifica. 3. Ejemplo 1 (Periódico mixto): Convertir $0.1\overline{23}$ a fracción. - Sea $x=0.1232323...$ - Multiplicamos por $10^{3}$ (3 cifras periódicas): $1000x=123.2323...$ - Multiplicamos por $10^{1}$ (parte no periódica): $10x=1.2323...$ - Restamos: $1000x - 10x = 123.2323... - 1.2323... = 122$ - Simplificamos: $990x=122 \Rightarrow x=\frac{122}{990}$ - Cancelamos factores comunes: $\frac{122}{990} = \frac{\cancel{2}61}{\cancel{2}495} = \frac{61}{495}$ 4. Ejemplo 2 (Periódico puro): Convertir $0.\overline{45}$ a fracción. - Sea $x=0.454545...$ - Multiplicamos por $10^{2}$: $100x=45.4545...$ - Restamos: $100x - x = 45.4545... - 0.4545... = 45$ - Simplificamos: $99x=45 \Rightarrow x=\frac{45}{99}$ - Cancelamos factores comunes: $\frac{45}{99} = \frac{\cancel{9}5}{\cancel{9}11} = \frac{5}{11}$ 5. Ejemplo 3 (Decimal exacto): Convertir $0.75$ a fracción. - $0.75 = \frac{75}{100}$ - Simplificamos: $\frac{75}{100} = \frac{\cancel{25}3}{\cancel{25}4} = \frac{3}{4}$ 6. Se pueden repetir estos pasos para los 30 ejemplos de cada tipo, aplicando las fórmulas y simplificando cada fracción resultante. Respuesta final: Los decimales periódicos mixtos, periódicos puros y exactos se convierten a fracciones usando multiplicaciones y restas para eliminar la parte periódica, luego simplificando la fracción obtenida.