1. Enunciado del problema: Descomponer la fracción racional $\frac{2x+1}{x(x+3)}$ en fracciones parciales y elegir la forma correcta entre las opciones dadas. 2. Regla y criterio: Como el numerador tiene grado 1 y el denominador grado 2, no hace falta división previa y los factores lineales distintos $x$ y $x+3$ admiten una descomposición de la forma $\frac{A}{x}+\frac{B}{x+3}$. 3. Planteamiento: Suponemos $$\frac{2x+1}{x(x+3)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+3}$$ y multiplicamos por $x(x+3)$ para obtener una identidad polinómica. 4. Cancelación de denominadores: $$\cancel{x}(x+3)\cdot\frac{2x+1}{\cancel{x}(x+3)}=\cancel{x}(x+3)\cdot\frac{A}{\cancel{x}}+\cancel{x}(x+3)\cdot\frac{B}{x+3}$$ 5. Resultado tras simplificar: $$2x+1=A(x+3)+Bx$$ 6. Desarrollo y comparación de coeficientes: Expandimos y agrupamos términos para obtener $$2x+1=(A+B)x+3A$$, por lo que se cumplen las igualdades $A+B=2$ y $3A=1$. 7. Resolución de A: De $3A=1$ dividimos entre 3 y mostramos la cancelación: $$\frac{\cancel{3}A}{\cancel{3}}=\frac{1}{3}$$ 8. Conclusión para A y B: Luego $A=\frac{1}{3}$ y $B=2-A=2-\frac{1}{3}=\frac{6}{3}-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}$. 9. Forma final: Sustituyendo obtenemos $$\frac{2x+1}{x(x+3)}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{x}+\frac{5}{3}\cdot\frac{1}{x+3}=\frac{1}{3x}+\frac{5}{3(x+3)}$$ 10. Respuesta: La opción correcta es la b.