1. Planteamos el problema: Demostrar que si $a > 0$ y $b > 0$ entonces $$2\sqrt{ab} \leq a + b$$. 2. Esta desigualdad es conocida como la desigualdad aritmético-geométrica (AM-GM) para dos números positivos. 3. La fórmula AM-GM para dos números positivos $a$ y $b$ dice que: $$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$$ Multiplicando ambos lados por 2 obtenemos: $$2\sqrt{ab} \leq a + b$$ 4. Para demostrarlo, partimos de la expresión: $$ (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \geq 0 $$ Porque cualquier cuadrado es siempre mayor o igual a cero. 5. Expandimos el cuadrado: $$ (\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 \geq 0 $$ Que es: $$ a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0 $$ 6. Reordenamos para despejar $2\sqrt{ab}$: $$ a + b \geq 2\sqrt{ab} $$ 7. Esto es exactamente lo que queríamos demostrar. 8. En resumen, la desigualdad se basa en que el cuadrado de cualquier número real es no negativo, y al expandir y reorganizar obtenemos la desigualdad deseada. 9. Verificación con números: si $a=4$ y $b=9$, entonces: $$2\sqrt{4 \times 9} = 2 \times 6 = 12$$ $$a + b = 4 + 9 = 13$$ Y $12 \leq 13$ es verdadero. Por lo tanto, la desigualdad se cumple para todos $a, b > 0$.