1. **Planteamiento del problema:** Resolver la desigualdad cuadrática $$2X^2 + 9X + 10 > 0$$. 2. **Fórmula y reglas importantes:** Para resolver desigualdades cuadráticas, primero encontramos las raíces de la ecuación cuadrática asociada $$2X^2 + 9X + 10 = 0$$ usando la fórmula general: $$X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Donde $a=2$, $b=9$, $c=10$. 3. **Cálculo del discriminante:** $$\Delta = b^2 - 4ac = 9^2 - 4 \times 2 \times 10 = 81 - 80 = 1$$ 4. **Cálculo de las raíces:** $$X = \frac{-9 \pm \sqrt{1}}{2 \times 2} = \frac{-9 \pm 1}{4}$$ Raíz 1: $$X_1 = \frac{-9 + 1}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$ Raíz 2: $$X_2 = \frac{-9 - 1}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2} = -2.5$$ 5. **Análisis del signo:** Como $a=2 > 0$, la parábola abre hacia arriba. La expresión $$2X^2 + 9X + 10$$ es positiva fuera del intervalo entre las raíces y negativa dentro. 6. **Solución de la desigualdad:** $$2X^2 + 9X + 10 > 0 \implies X < -2.5 \quad \text{o} \quad X > -2$$ **Respuesta final:** $$\boxed{(-\infty, -2.5) \cup (-2, \infty)}$$