1. Planteamos el problema: Resolver la desigualdad cuadrática $X^2 + 4X \geq 0$. 2. Recordemos que para resolver desigualdades cuadráticas, primero encontramos las raíces de la ecuación asociada $X^2 + 4X = 0$. 3. Factorizamos la ecuación: $$X^2 + 4X = X(X + 4) = 0$$ 4. Igualamos cada factor a cero para encontrar las raíces: $$X = 0$$ $$X + 4 = 0 \Rightarrow X = -4$$ 5. Estas raíces dividen la recta numérica en tres intervalos: $(-\infty, -4)$, $(-4, 0)$ y $(0, \infty)$. 6. Probamos un valor de cada intervalo en la expresión $X^2 + 4X$ para determinar dónde es positiva o cero: - Para $X = -5$ (en $(-\infty, -4)$): $$(-5)^2 + 4(-5) = 25 - 20 = 5 \geq 0$$ (verdadero) - Para $X = -2$ (en $(-4, 0)$): $$(-2)^2 + 4(-2) = 4 - 8 = -4 < 0$$ (falso) - Para $X = 1$ (en $(0, \infty)$): $$1^2 + 4(1) = 1 + 4 = 5 \geq 0$$ (verdadero) 7. Como la desigualdad es $\geq 0$, incluimos los puntos donde la expresión es cero, es decir, $X = -4$ y $X = 0$. 8. Por lo tanto, la solución es: $$(-\infty, -4] \cup [0, \infty)$$. Respuesta final: Los valores de $X$ que satisfacen la desigualdad $X^2 + 4X \geq 0$ son $$X \in (-\infty, -4] \cup [0, \infty)$$.