1. Planteamos el problema: Resolver la desigualdad $$x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 14x - 8 \geq 0$$. 2. Para resolver desigualdades polinómicas, primero factorizamos el polinomio si es posible. 3. Intentamos factorizar $$x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 14x - 8$$. Probamos con divisores del término independiente -8 para encontrar raíces racionales. 4. Evaluamos en $x=1$: $$1 - 4 - 3 + 14 - 8 = 0$$, por lo que $x=1$ es raíz. 5. Dividimos el polinomio por $(x-1)$ usando división sintética o larga: $$\begin{aligned} &x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 14x - 8 \div (x-1) = x^3 - 3x^2 - 6x + 8 \end{aligned}$$ 6. Repetimos el proceso con el cociente $x^3 - 3x^2 - 6x + 8$. 7. Evaluamos en $x=1$: $$1 - 3 - 6 + 8 = 0$$, entonces $x=1$ es raíz también aquí. 8. Dividimos $x^3 - 3x^2 - 6x + 8$ por $(x-1)$: $$x^2 - 2x - 8$$ 9. Factorizamos el trinomio $x^2 - 2x - 8$: $$x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)$$ 10. Por lo tanto, la factorización completa es: $$x^4 - 4x^3 - 3x^2 + 14x - 8 = (x - 1)^2 (x - 4)(x + 2)$$ 11. Ahora analizamos el signo de $$f(x) = (x - 1)^2 (x - 4)(x + 2) \geq 0$$. 12. El factor $(x-1)^2$ es siempre no negativo (cuadrado), cero en $x=1$. 13. Los puntos críticos son $x = -2, 1, 4$. 14. Probamos intervalos: - Para $x < -2$, por ejemplo $x=-3$: $(x-1)^2 > 0$, $(x-4)<0$, $(x+2)<0$, producto: positivo. - Para $-2 < x < 1$, por ejemplo $x=0$: $(x-1)^2 > 0$, $(x-4)<0$, $(x+2)>0$, producto: negativo. - Para $1 < x < 4$, por ejemplo $x=2$: $(x-1)^2 > 0$, $(x-4)<0$, $(x+2)>0$, producto: negativo. - Para $x > 4$, por ejemplo $x=5$: $(x-1)^2 > 0$, $(x-4)>0$, $(x+2)>0$, producto: positivo. 15. Incluimos los puntos donde el polinomio es cero: $x=-2, 1, 4$. 16. Por lo tanto, la solución de la desigualdad es: $$(-\infty, -2] \cup [1] \cup [4, \infty)$$ 17. En resumen, el polinomio es mayor o igual a cero en esos intervalos y puntos. **Respuesta final:** $$x \in (-\infty, -2] \cup \{1\} \cup [4, \infty)$$