1. Planteamos el problema: Resolver la desigualdad $$\frac{x + 6}{x(x + 4)} \ge 0$$. 2. Identificamos los puntos críticos donde el numerador o denominador son cero, ya que ahí puede cambiar el signo de la expresión. 3. Los puntos críticos son: - Numerador: $$x + 6 = 0 \Rightarrow x = -6$$ - Denominador: $$x = 0$$ y $$x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4$$ 4. Estos puntos dividen la recta numérica en intervalos: $$(-\infty, -6), (-6, -4), (-4, 0), (0, \infty)$$. 5. Evaluamos el signo de la expresión en cada intervalo: - Para $$x < -6$$, por ejemplo $$x = -7$$: Numerador: $$-7 + 6 = -1 < 0$$ Denominador: $$-7(-7 + 4) = -7(-3) = 21 > 0$$ Fracción: negativo sobre positivo = negativo $$< 0$$ - Para $$-6 < x < -4$$, por ejemplo $$x = -5$$: Numerador: $$-5 + 6 = 1 > 0$$ Denominador: $$-5(-5 + 4) = -5(-1) = 5 > 0$$ Fracción: positivo sobre positivo = positivo $$> 0$$ - Para $$-4 < x < 0$$, por ejemplo $$x = -2$$: Numerador: $$-2 + 6 = 4 > 0$$ Denominador: $$-2(-2 + 4) = -2(2) = -4 < 0$$ Fracción: positivo sobre negativo = negativo $$< 0$$ - Para $$x > 0$$, por ejemplo $$x = 1$$: Numerador: $$1 + 6 = 7 > 0$$ Denominador: $$1(1 + 4) = 1(5) = 5 > 0$$ Fracción: positivo sobre positivo = positivo $$> 0$$ 6. La desigualdad pide $$\ge 0$$, es decir, donde la expresión es positiva o cero. 7. Verificamos si los puntos críticos están incluidos: - En $$x = -6$$, numerador es cero, fracción es cero, se incluye. - En $$x = -4$$ y $$x = 0$$, denominador es cero, la expresión no está definida, no se incluyen. 8. Por lo tanto, la solución es: $$[-6, -4) \cup (0, \infty)$$. 9. Resumen: - La expresión es positiva o cero en $$[-6, -4)$$ y en $$(0, \infty)$$.