1. Planteamos la desigualdad dada: $$\frac{3}{1} < \frac{1}{10} - \frac{5}{x} - \frac{1}{12}$$ 2. Simplificamos el lado derecho sumando los términos constantes: $$\frac{1}{10} - \frac{1}{12} = \frac{6}{60} - \frac{5}{60} = \frac{1}{60}$$ Entonces la desigualdad queda: $$3 < \frac{1}{60} - \frac{5}{x}$$ 3. Restamos $\frac{1}{60}$ a ambos lados para aislar el término con $x$: $$3 - \frac{1}{60} < - \frac{5}{x}$$ Calculamos el lado izquierdo: $$3 = \frac{180}{60}$$ $$\frac{180}{60} - \frac{1}{60} = \frac{179}{60}$$ Entonces: $$\frac{179}{60} < - \frac{5}{x}$$ 4. Multiplicamos ambos lados por $-1$ para cambiar el signo y facilitar la resolución, recordando invertir la desigualdad: $$- \frac{179}{60} > \frac{5}{x}$$ 5. Multiplicamos ambos lados por $x$, pero debemos considerar el signo de $x$ para el sentido de la desigualdad: - Si $x > 0$, entonces: $$x \times \left(- \frac{179}{60}\right) > 5$$ $$- \frac{179}{60} x > 5$$ Multiplicamos por $-1$ e invertimos la desigualdad: $$\frac{179}{60} x < -5$$ Despejamos $x$: $$x < -5 \times \frac{60}{179} = - \frac{300}{179}$$ Pero esto contradice la suposición $x > 0$, por lo que no hay solución en $x > 0$. - Si $x < 0$, multiplicamos por $x < 0$ e invertimos la desigualdad: $$- \frac{179}{60} x < 5 x < 0$$ Dividimos ambos lados por $x$ negativo, invirtiendo la desigualdad: $$- \frac{179}{60} > \frac{5}{x}$$ Esto es la desigualdad original que ya tenemos, por lo que: Volviendo a la expresión: $$- \frac{179}{60} > \frac{5}{x}$$ Multiplicamos ambos lados por $x < 0$ (invirtiendo desigualdad): $$- \frac{179}{60} x < 5$$ Despejamos $x$: $$x > - \frac{300}{179}$$ Pero recordamos que $x < 0$, entonces la solución es: $$- \frac{300}{179} < x < 0$$ 6. Resumen de la solución: La desigualdad se cumple para: $$x \in \left(- \frac{300}{179}, 0\right)$$ $\approx (-1.676, 0)$ \textbf{Respuesta final:} $$x \in \left(- \frac{300}{179}, 0\right)$$