1. El problema es resolver la desigualdad $$2\sin^4(x) - \sin^2(x) - 1 \geq 0$$. 2. Para simplificar, hacemos el cambio de variable $$t = \sin^2(x)$$, donde $$t \in [0,1]$$ porque $$\sin^2(x)$$ siempre está entre 0 y 1. 3. La desigualdad queda como $$2t^2 - t - 1 \geq 0$$. 4. Resolvemos la ecuación cuadrática $$2t^2 - t - 1 = 0$$ usando la fórmula general: $$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$$ 5. Las raíces son: $$t_1 = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$ (descartada porque $$t \geq 0$$) $$t_2 = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$$ 6. Como $$a=2 > 0$$, la parábola abre hacia arriba, por lo que la desigualdad $$2t^2 - t - 1 \geq 0$$ se cumple para $$t \leq t_1$$ o $$t \geq t_2$$. 7. Pero $$t_1 = -\frac{1}{2}$$ no está en el dominio $$[0,1]$$, entonces la solución en $$t$$ es $$t \geq 1$$. 8. Recordando que $$t = \sin^2(x)$$ y que $$\sin^2(x) \leq 1$$, la única posibilidad es $$\sin^2(x) = 1$$. 9. Por lo tanto, $$\sin(x) = \pm 1$$. 10. Las soluciones para $$\sin(x) = 1$$ son $$x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$$ y para $$\sin(x) = -1$$ son $$x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi$$, con $$k \in \mathbb{Z}$$. 11. En resumen, la desigualdad se cumple solo en los puntos donde $$\sin(x) = \pm 1$$, es decir, en $$x = \frac{\pi}{2} + k\pi$$ para $$k \in \mathbb{Z}$$. 12. Sobre los arcos internos y externos: la función $$y = 2\sin^4(x) - \sin^2(x) - 1$$ es un polinomio en $$\sin^2(x)$$, y la desigualdad se cumple solo en los extremos del dominio de $$\sin^2(x)$$, que son los valores máximos y mínimos de $$\sin(x)$$, es decir, los arcos internos y externos corresponden a los valores donde $$\sin(x) = \pm 1$$.