1. **Enunciado do problema:** Considere a desigualdade $$2! < n!$$. Queremos analisar para quais valores de $$n$$ essa desigualdade é verdadeira. 2. **Fórmula e definição:** O fatorial de um número inteiro positivo $$n$$ é definido como: $$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$$ 3. **Análise da desigualdade:** Sabemos que $$2! = 2$$. Queremos encontrar para quais $$n$$ vale: $$2 < n!$$ 4. **Testando valores inteiros positivos:** - Para $$n=1$$: $$1! = 1$$, então $$2 < 1$$ é falso. - Para $$n=2$$: $$2! = 2$$, então $$2 < 2$$ é falso. - Para $$n=3$$: $$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$$, então $$2 < 6$$ é verdadeiro. - Para $$n=4$$: $$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$$, então $$2 < 24$$ é verdadeiro. 5. **Conclusão:** A desigualdade $$2! < n!$$ é verdadeira para todo $$n \geq 3$$, onde $$n$$ é inteiro positivo. 6. **Analisando as afirmações:** - I. "A relação é válida para todo $$n$$ inteiro positivo." Falso, pois para $$n=1$$ e $$n=2$$ não é válida. - II. "A relação é válida para todo $$n$$ natural par." Falso, pois para $$n=2$$ (par) não é válida. - III. "A relação é válida para todo $$n$$ natural ímpar." Falso, pois para $$n=1$$ (ímpar) não é válida. - IV. "A relação é válida para qualquer inteiro positivo $$n \geq 4$$." Verdadeiro, pois para $$n=4$$ e maiores, a desigualdade é verdadeira. **Resposta correta:** d. Apenas IV