1. Resolvamos la desigualdad a) $5x - 7 < -2x$. 2. Primero, sumamos $2x$ a ambos lados para juntar las $x$ en un lado: $$5x - 7 + 2x < -2x + 2x$$ $$7x - 7 < 0$$ 3. Luego, sumamos 7 a ambos lados: $$7x - 7 + 7 < 0 + 7$$ $$7x < 7$$ 4. Dividimos ambos lados entre 7 (positivo, no cambia la desigualdad): $$\frac{\cancel{7}x}{\cancel{7}} < \frac{7}{7}$$ $$x < 1$$ 5. La solución en intervalo es $(-\infty, 1)$. --- 1. Resolvamos la desigualdad b) $3x + 11 \geq 8x - 14$. 2. Restamos $8x$ de ambos lados: $$3x + 11 - 8x \geq 8x - 14 - 8x$$ $$-5x + 11 \geq -14$$ 3. Restamos 11 de ambos lados: $$-5x + 11 - 11 \geq -14 - 11$$ $$-5x \geq -25$$ 4. Dividimos entre $-5$ (negativo, invertimos la desigualdad): $$\frac{\cancel{-5}x}{\cancel{-5}} \leq \frac{-25}{-5}$$ $$x \leq 5$$ 5. Solución en intervalo: $(-\infty, 5]$. --- 1. Resolvamos la desigualdad c) $-4x + 9 \geq -5x - 15$. 2. Sumamos $5x$ a ambos lados: $$-4x + 9 + 5x \geq -5x - 15 + 5x$$ $$x + 9 \geq -15$$ 3. Restamos 9 de ambos lados: $$x + 9 - 9 \geq -15 - 9$$ $$x \geq -24$$ 4. Solución en intervalo: $[-24, \infty)$. --- 1. Resolvamos la desigualdad d) $-x - 10 < 9x - 8$. 2. Sumamos $x$ a ambos lados: $$-x - 10 + x < 9x - 8 + x$$ $$-10 < 10x - 8$$ 3. Sumamos 8 a ambos lados: $$-10 + 8 < 10x - 8 + 8$$ $$-2 < 10x$$ 4. Dividimos entre 10 (positivo, desigualdad no cambia): $$\frac{-2}{10} < \frac{10x}{10}$$ $$-\frac{1}{5} < x$$ 5. Solución en intervalo: $(-\frac{1}{5}, \infty)$. --- 1. Resolvamos la desigualdad e) $2x - 6 \geq 4x + 5$. 2. Restamos $4x$ de ambos lados: $$2x - 6 - 4x \geq 4x + 5 - 4x$$ $$-2x - 6 \geq 5$$ 3. Sumamos 6 a ambos lados: $$-2x - 6 + 6 \geq 5 + 6$$ $$-2x \geq 11$$ 4. Dividimos entre $-2$ (negativo, invertimos desigualdad): $$\frac{\cancel{-2}x}{\cancel{-2}} \leq \frac{11}{-2}$$ $$x \leq -\frac{11}{2}$$ 5. Solución en intervalo: $(-\infty, -\frac{11}{2}]$. --- 1. Resolvamos la desigualdad f) $\frac{3}{4}x + \frac{3}{2} \leq -\frac{5}{2}x + \frac{1}{2}$. 2. Sumamos $\frac{5}{2}x$ a ambos lados: $$\frac{3}{4}x + \frac{3}{2} + \frac{5}{2}x \leq -\frac{5}{2}x + \frac{1}{2} + \frac{5}{2}x$$ $$\frac{3}{4}x + \frac{5}{2}x + \frac{3}{2} \leq \frac{1}{2}$$ 3. Sumamos $-\frac{3}{2}$ a ambos lados: $$\frac{3}{4}x + \frac{5}{2}x + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \leq \frac{1}{2} - \frac{3}{2}$$ $$\frac{3}{4}x + \frac{5}{2}x \leq -1$$ 4. Sumamos los coeficientes de $x$ (convertimos a común denominador 4): $$\frac{3}{4}x + \frac{10}{4}x = \frac{13}{4}x$$ 5. Entonces: $$\frac{13}{4}x \leq -1$$ 6. Multiplicamos ambos lados por $\frac{4}{13}$ (positivo, desigualdad no cambia): $$x \leq -1 \times \frac{4}{13}$$ $$x \leq -\frac{4}{13}$$ 7. Solución en intervalo: $(-\infty, -\frac{4}{13}]$. --- 1. Resolvamos la desigualdad g) $-\frac{4}{9}x + 2 > -\frac{1}{5} + \frac{5}{3}x$. 2. Sumamos $\frac{4}{9}x$ a ambos lados: $$-\frac{4}{9}x + 2 + \frac{4}{9}x > -\frac{1}{5} + \frac{5}{3}x + \frac{4}{9}x$$ $$2 > -\frac{1}{5} + \frac{5}{3}x + \frac{4}{9}x$$ 3. Sumamos $\frac{1}{5}$ a ambos lados: $$2 + \frac{1}{5} > \frac{5}{3}x + \frac{4}{9}x$$ 4. Convertimos a común denominador para sumar izquierda: $$2 = \frac{10}{5}$$ $$\frac{10}{5} + \frac{1}{5} = \frac{11}{5}$$ 5. Sumamos los coeficientes de $x$ a la derecha (común denominador 9): $$\frac{5}{3} = \frac{15}{9}$$ $$\frac{15}{9}x + \frac{4}{9}x = \frac{19}{9}x$$ 6. Entonces: $$\frac{11}{5} > \frac{19}{9}x$$ 7. Multiplicamos ambos lados por $\frac{9}{19}$ (positivo, desigualdad no cambia): $$x < \frac{11}{5} \times \frac{9}{19}$$ 8. Simplificamos: $$x < \frac{99}{95}$$ 9. Solución en intervalo: $(-\infty, \frac{99}{95})$. --- 1. Resolvamos la desigualdad h) $4x > x + 12\sqrt{3}$. 2. Restamos $x$ de ambos lados: $$4x - x > x + 12\sqrt{3} - x$$ $$3x > 12\sqrt{3}$$ 3. Dividimos entre 3 (positivo, desigualdad no cambia): $$x > 4\sqrt{3}$$ 4. Solución en intervalo: $(4\sqrt{3}, \infty)$. --- 1. Resolvamos la desigualdad i) $-3x - 9\sqrt{5} \leq -7x - 13\sqrt{5}$. 2. Sumamos $7x$ a ambos lados: $$-3x - 9\sqrt{5} + 7x \leq -7x - 13\sqrt{5} + 7x$$ $$4x - 9\sqrt{5} \leq -13\sqrt{5}$$ 3. Sumamos $9\sqrt{5}$ a ambos lados: $$4x - 9\sqrt{5} + 9\sqrt{5} \leq -13\sqrt{5} + 9\sqrt{5}$$ $$4x \leq -4\sqrt{5}$$ 4. Dividimos entre 4 (positivo, desigualdad no cambia): $$x \leq -\sqrt{5}$$ 5. Solución en intervalo: $(-\infty, -\sqrt{5}]$. --- 1. Resolvamos la desigualdad j) $x + 4\sqrt{2} \geq \frac{1}{2}x + 10\sqrt{2}$. 2. Restamos $\frac{1}{2}x$ de ambos lados: $$x + 4\sqrt{2} - \frac{1}{2}x \geq \frac{1}{2}x + 10\sqrt{2} - \frac{1}{2}x$$ $$\frac{1}{2}x + 4\sqrt{2} \geq 10\sqrt{2}$$ 3. Restamos $4\sqrt{2}$ de ambos lados: $$\frac{1}{2}x + 4\sqrt{2} - 4\sqrt{2} \geq 10\sqrt{2} - 4\sqrt{2}$$ $$\frac{1}{2}x \geq 6\sqrt{2}$$ 4. Multiplicamos ambos lados por 2 (positivo, desigualdad no cambia): $$x \geq 12\sqrt{2}$$ 5. Solución en intervalo: $[12\sqrt{2}, \infty)$. --- 1. Resolvamos la desigualdad k) $6\sqrt{3}x - 9 < 2\sqrt{3}x + 7$. 2. Restamos $2\sqrt{3}x$ de ambos lados: $$6\sqrt{3}x - 9 - 2\sqrt{3}x < 2\sqrt{3}x + 7 - 2\sqrt{3}x$$ $$4\sqrt{3}x - 9 < 7$$ 3. Sumamos 9 a ambos lados: $$4\sqrt{3}x - 9 + 9 < 7 + 9$$ $$4\sqrt{3}x < 16$$ 4. Dividimos entre $4\sqrt{3}$ (positivo, desigualdad no cambia): $$x < \frac{16}{4\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$$ 5. Solución en intervalo: $(-\infty, \frac{4}{\sqrt{3}})$. --- 1. Resolvamos la desigualdad l) $\sqrt{6}x + 5 > x + 4$. 2. Restamos $x$ de ambos lados: $$\sqrt{6}x + 5 - x > x + 4 - x$$ $$(\sqrt{6} - 1)x + 5 > 4$$ 3. Restamos 5 de ambos lados: $$(\sqrt{6} - 1)x + 5 - 5 > 4 - 5$$ $$(\sqrt{6} - 1)x > -1$$ 4. Dividimos entre $(\sqrt{6} - 1)$ (positivo, desigualdad no cambia): $$x > \frac{-1}{\sqrt{6} - 1}$$ 5. Solución en intervalo: $\left(\frac{-1}{\sqrt{6} - 1}, \infty\right)$. --- Para las desigualdades gráficas: 1. a) $-3x + 12 \geq 0$. 2. Sumamos $3x$ a ambos lados: $$12 \geq 3x$$ 3. Dividimos entre 3: $$4 \geq x$$ 4. Solución: $(-\infty, 4]$. --- 1. b) $4x + 8 < 0$. 2. Restamos 8: $$4x < -8$$ 3. Dividimos entre 4: $$x < -2$$ 4. Solución: $(-\infty, -2)$. --- 1. c) $\frac{1}{3}x - 2 \geq 0$. 2. Sumamos 2: $$\frac{1}{3}x \geq 2$$ 3. Multiplicamos por 3: $$x \geq 6$$ 4. Solución: $[6, \infty)$.