1. Planteamos el problema: Resolver el sistema de desigualdades y las desigualdades individuales dadas. 2. Para la parte a), tenemos el sistema: $$\frac{1 - 4x}{6} + 13 \leq \frac{x + 1}{4} + 2x$$ $$\frac{x - 3}{2} + 3 > \frac{x - 2}{4} + \frac{2x - 1}{6}$$ 3. Resolvemos la primera desigualdad: Multiplicamos todo por 12 (mínimo común múltiplo de 6 y 4) para eliminar denominadores: $$12 \times \left(\frac{1 - 4x}{6} + 13\right) \leq 12 \times \left(\frac{x + 1}{4} + 2x\right)$$ $$2(1 - 4x) + 156 \leq 3(x + 1) + 24x$$ $$2 - 8x + 156 \leq 3x + 3 + 24x$$ $$158 - 8x \leq 27x + 3$$ 4. Pasamos términos para despejar $x$: $$158 - 8x - 3 \leq 27x$$ $$155 - 8x \leq 27x$$ $$155 \leq 27x + 8x$$ $$155 \leq 35x$$ 5. Dividimos ambos lados por 35: $$\frac{155}{\cancel{35}} \leq x \quad \Rightarrow \quad \frac{155}{35} \leq x$$ Simplificando la fracción: $$\frac{155}{35} = \frac{31}{7}$$ Por lo tanto: $$x \geq \frac{31}{7}$$ 6. Resolvemos la segunda desigualdad: Multiplicamos todo por 12 (mcm de 2, 4 y 6): $$12 \times \left(\frac{x - 3}{2} + 3\right) > 12 \times \left(\frac{x - 2}{4} + \frac{2x - 1}{6}\right)$$ $$6(x - 3) + 36 > 3(x - 2) + 2(2x - 1)$$ $$6x - 18 + 36 > 3x - 6 + 4x - 2$$ $$6x + 18 > 7x - 8$$ 7. Pasamos términos para despejar $x$: $$6x + 18 - 7x > -8$$ $$-x + 18 > -8$$ $$-x > -26$$ 8. Multiplicamos por -1 y cambiamos el sentido de la desigualdad: $$x < 26$$ 9. El conjunto solución del sistema es la intersección: $$x \geq \frac{31}{7} \quad \text{y} \quad x < 26$$ 10. Para la parte b), resolver: $$x^2 - 2x \geq 15$$ 11. Pasamos 15 al lado izquierdo: $$x^2 - 2x - 15 \geq 0$$ 12. Factorizamos el trinomio: $$x^2 - 2x - 15 = (x - 5)(x + 3)$$ 13. La desigualdad es: $$(x - 5)(x + 3) \geq 0$$ 14. Analizamos signos: - Para $x \leq -3$, ambos factores son negativos o positivos, producto positivo. - Para $-3 < x < 5$, producto negativo. - Para $x \geq 5$, producto positivo. 15. Por lo tanto, la solución es: $$x \leq -3 \quad \text{o} \quad x \geq 5$$ 16. Para la parte c), resolver: $$\frac{x}{3 - x} < 2$$ 17. Pasamos todo a un lado: $$\frac{x}{3 - x} - 2 < 0$$ 18. Escribimos con denominador común: $$\frac{x - 2(3 - x)}{3 - x} < 0$$ $$\frac{x - 6 + 2x}{3 - x} < 0$$ $$\frac{3x - 6}{3 - x} < 0$$ 19. Factorizamos numerador: $$\frac{3(x - 2)}{3 - x} < 0$$ 20. Analizamos signos de numerador y denominador: - Numerador cambia signo en $x=2$. - Denominador cambia signo en $x=3$ (excluido porque no se puede dividir por cero). 21. Estudiamos intervalos: - Para $x < 2$: numerador negativo, denominador positivo (porque $3 - x > 0$), fracción negativa. - Para $2 < x < 3$: numerador positivo, denominador positivo, fracción positiva. - Para $x > 3$: numerador positivo, denominador negativo, fracción negativa. 22. La desigualdad es menor que cero, por lo que la solución es: $$(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$$ 23. Resumen final: - a) $$\left[\frac{31}{7}, 26\right)$$ - b) $$(-\infty, -3] \cup [5, \infty)$$ - c) $$(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$$