1. **Problema:** Calcular el valor del determinante $$\left|\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1+3a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+3b & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+3c & 1 \end{array}\right|$$ 2. **Fórmula y reglas:** El determinante de una matriz 4x4 se puede calcular por cofactores o simplificando filas/columnas. Aquí, podemos usar operaciones elementales para simplificar. 3. **Paso 1:** Restamos la primera fila a las filas 2, 3 y 4 para simplificar: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ (1+3a)-1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 1-1 & (1+3b)-1 & 1-1 & 1-1 \\ 1-1 & 1-1 & (1+3c)-1 & 1-1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 3a & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3b & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3c & 0 \end{vmatrix}$$ 4. **Paso 2:** Ahora el determinante es: $$\det = 1 \times \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3b & 0 & 0 \\ 0 & 3c & 0 \end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} 3a & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3c & 0 \end{vmatrix} + 1 \times \begin{vmatrix} 3a & 0 & 0 \\ 0 & 3b & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} - 1 \times \begin{vmatrix} 3a & 0 & 0 \\ 0 & 3b & 0 \\ 0 & 0 & 3c \end{vmatrix}$$ 5. **Paso 3:** Observamos que las primeras tres menores tienen filas o columnas de ceros, por lo que su determinante es 0. Solo el último término queda: $$-1 \times \det \begin{pmatrix} 3a & 0 & 0 \\ 0 & 3b & 0 \\ 0 & 0 & 3c \end{pmatrix} = -1 \times (3a)(3b)(3c) = -27abc$$ 6. **Respuesta final:** $$\boxed{-27abc}$$ Este es el valor del determinante dado.