1. El problema es hallar el determinante de la matriz $$A = \begin{pmatrix}1 & -2 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & -2 & 3\end{pmatrix}$$ 2. Para calcular el determinante por el método de cofactores, se escoge una fila o columna y se multiplica cada elemento por su cofactor, que es el determinante de la matriz menor correspondiente, con signo alternado. 3. Usaremos la primera fila para el desarrollo: $$|A| = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}$$ Donde $C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ y $M_{ij}$ es el determinante de la matriz menor que se obtiene al eliminar la fila $i$ y columna $j$. 4. Calculamos cada cofactor: - Para $a_{11} = 1$: $$C_{11} = (+1) \times \begin{vmatrix}1 & -1 \\ -2 & 3\end{vmatrix} = 1(3) - (-1)(-2) = 3 - 2 = 1$$ - Para $a_{12} = -2$: $$C_{12} = (-1) \times \begin{vmatrix}2 & -1 \\ 2 & 3\end{vmatrix} = -1(2 \times 3 - (-1) \times 2) = -1(6 + 2) = -8$$ - Para $a_{13} = 3$: $$C_{13} = (+1) \times \begin{vmatrix}2 & 1 \\ 2 & -2\end{vmatrix} = 2(-2) - 1(2) = -4 - 2 = -6$$ 5. Ahora calculamos el determinante: $$|A| = 1 \times 1 + (-2) \times (-8) + 3 \times (-6) = 1 + 16 - 18 = -1$$ 6. Revisando las opciones dadas, la correcta es: $$|A| = 1((1)(3) - (-1)(-2)) - 2((2)(3) - (-1)(2)) + 3((2)(-2) - (1)(2))$$ Porque coincide con el desarrollo correcto del determinante por cofactores en la primera fila, con los signos alternados y los elementos correctos. Respuesta final: La opción correcta es la segunda.