1. Planteamos el problema: Sea $x$ y $y$ los dos números, con $x > y$. Sabemos que la diferencia es 15, es decir, $x - y = 15$. 2. La suma de sus logaritmos decimales es 2, lo que se expresa como $\log_{10}(x) + \log_{10}(y) = 2$. 3. Usamos la propiedad de logaritmos que dice que la suma de logaritmos es el logaritmo del producto: $$\log_{10}(x) + \log_{10}(y) = \log_{10}(xy)$$ Entonces, $$\log_{10}(xy) = 2$$. 4. Esto implica que $$xy = 10^2 = 100$$. 5. Ahora tenemos el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x - y = 15 \\ xy = 100 \end{cases}$$ 6. De la primera ecuación despejamos $x = y + 15$. 7. Sustituimos en la segunda ecuación: $$ (y + 15) y = 100 $$ $$ y^2 + 15y = 100 $$ 8. Pasamos todo a un lado para formar una ecuación cuadrática: $$ y^2 + 15y - 100 = 0 $$ 9. Aplicamos la fórmula cuadrática para $y$: $$ y = \frac{-15 \pm \sqrt{15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100)}}{2} = \frac{-15 \pm \sqrt{225 + 400}}{2} = \frac{-15 \pm \sqrt{625}}{2} $$ 10. Calculamos la raíz: $$ \sqrt{625} = 25 $$ 11. Por lo tanto: $$ y_1 = \frac{-15 + 25}{2} = \frac{10}{2} = 5 $$ $$ y_2 = \frac{-15 - 25}{2} = \frac{-40}{2} = -20 $$ 12. Como los números deben ser positivos para que sus logaritmos decimales existan, descartamos $y = -20$. 13. Entonces, $y = 5$ y usando $x = y + 15$, tenemos $x = 5 + 15 = 20$. 14. Verificamos: $$ x - y = 20 - 5 = 15 $$ $$ \log_{10}(20) + \log_{10}(5) = \log_{10}(100) = 2 $$ Respuesta final: Los números son $20$ y $5$.