1. Planteamos el primer sistema: $$\begin{cases} a x + y + a z = 3 \\ x + a y - z = 1 \\ x + y = b \end{cases}$$ Queremos estudiar para qué valores de $a$ y $b$ el sistema tiene solución única, infinitas soluciones o ninguna. 2. Escribimos la matriz aumentada y calculamos el determinante de la matriz de coeficientes: $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & a \\ 1 & a & -1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos $$\det(A) = a \begin{vmatrix} a & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} + a \begin{vmatrix} 1 & a \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ 3. Calculamos cada menor: $$\begin{vmatrix} a & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = a \cdot 0 - (-1) \cdot 1 = 1$$ $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0 - (-1) \cdot 1 = 1$$ $$\begin{vmatrix} 1 & a \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 - a \cdot 1 = 1 - a$$ 4. Sustituimos: $$\det(A) = a \cdot 1 - 1 \cdot 1 + a (1 - a) = a - 1 + a - a^2 = 2a - 1 - a^2$$ 5. Simplificamos: $$\det(A) = -a^2 + 2a - 1 = -(a^2 - 2a + 1) = -(a - 1)^2$$ 6. El determinante es cero si y solo si: $$ (a - 1)^2 = 0 \implies a = 1 $$ 7. Para $a \neq 1$, el sistema tiene solución única para cualquier $b$. 8. Para $a = 1$, estudiamos el rango para determinar si hay infinitas soluciones o ninguna. 9. Sustituimos $a=1$ en el sistema: $$\begin{cases} x + y + z = 3 \\ x + y - z = 1 \\ x + y = b \end{cases}$$ 10. Sumamos las dos primeras ecuaciones: $$ (x + y + z) + (x + y - z) = 3 + 1 \implies 2x + 2y = 4 \implies x + y = 2 $$ 11. La tercera ecuación es $x + y = b$. 12. Para que el sistema sea compatible, debe cumplirse: $$ b = 2 $$ 13. Si $b = 2$, el sistema tiene infinitas soluciones (las dos primeras determinan $x + y = 2$ y $z$ queda libre). 14. Si $b \neq 2$, el sistema es incompatible (no hay solución). --- 15. Segundo sistema: $$\begin{cases} a x + y + z = (a - 1) b \\ x + a y + z = (a - 1)^2 b \\ x + y + a z = 0 \end{cases}$$ 16. Matriz de coeficientes: $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$$ 17. Calculamos $$\det(A)$$: $$\det(A) = a \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & a \\ 1 & 1 \end{vmatrix}$$ 18. Calculamos menores: $$\begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} = a^2 - 1$$ $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} = a - 1$$ $$\begin{vmatrix} 1 & a \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - a$$ 19. Sustituimos: $$\det(A) = a (a^2 - 1) - 1 (a - 1) + 1 (1 - a) = a^3 - a - a + 1 + 1 - a = a^3 - 3a + 2$$ 20. Factorizamos: $$a^3 - 3a + 2 = (a - 1)^2 (a + 2)$$ 21. El determinante es cero si: $$a = 1 \quad \text{o} \quad a = -2$$ 22. Para $a \neq 1$ y $a \neq -2$, el sistema tiene solución única para cualquier $b$. 23. Para $a = 1$, sustituimos en el sistema: $$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x + y + z = 0 \\ x + y + z = 0 \end{cases}$$ 24. El sistema se reduce a una sola ecuación $x + y + z = 0$ con tres incógnitas, por lo que tiene infinitas soluciones para cualquier $b$. 25. Para $a = -2$, sustituimos: $$\begin{cases} -2 x + y + z = -3 b \\ x - 2 y + z = 9 b \\ x + y - 2 z = 0 \end{cases}$$ 26. Calculamos el rango de la matriz aumentada y de la matriz de coeficientes para estudiar compatibilidad según $b$. 27. Tras análisis, el sistema es compatible si y solo si $b = 0$ (detalles de cálculo omitidos por brevedad). 28. Si $b = 0$, infinitas soluciones; si $b \neq 0$, no tiene solución. --- 29. Tercer sistema: $$\begin{cases} a x + y + z = b^2 - 1 \\ x + a y + z = b - 1 \\ x + y + a z = 0 \end{cases}$$ 30. Matriz de coeficientes igual que en el segundo sistema: $$A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$$ 31. Determinante ya calculado: $$\det(A) = (a - 1)^2 (a + 2)$$ 32. Para $a \neq 1$ y $a \neq -2$, solución única para cualquier $b$. 33. Para $a = 1$, el sistema queda: $$\begin{cases} x + y + z = b^2 - 1 \\ x + y + z = b - 1 \\ x + y + z = 0 \end{cases}$$ 34. Para que sea compatible, las tres ecuaciones deben coincidir: $$b^2 - 1 = b - 1 = 0$$ 35. De $b - 1 = 0$ se obtiene $b = 1$. 36. Comprobamos $b^2 - 1$ con $b=1$: $$1^2 - 1 = 0$$ 37. Entonces, para $a=1$ y $b=1$, infinitas soluciones. 38. Para $a=1$ y $b \neq 1$, no hay solución. 39. Para $a = -2$, sustituimos: $$\begin{cases} -2 x + y + z = b^2 - 1 \\ x - 2 y + z = b - 1 \\ x + y - 2 z = 0 \end{cases}$$ 40. El sistema es compatible si y solo si: $$b^2 - b = 0 \implies b(b - 1) = 0$$ 41. Por tanto, para $a = -2$, el sistema tiene solución si $b = 0$ o $b = 1$. 42. Si $b = 0$ o $b = 1$, infinitas soluciones; si no, no tiene solución. --- **Resumen:** - Primer sistema: - $a \neq 1$: solución única para todo $b$. - $a = 1$: infinitas soluciones si $b=2$, ninguna si $b \neq 2$. - Segundo sistema: - $a \neq 1, -2$: solución única para todo $b$. - $a = 1$: infinitas soluciones para todo $b$. - $a = -2$: infinitas soluciones si $b=0$, ninguna si $b \neq 0$. - Tercer sistema: - $a \neq 1, -2$: solución única para todo $b$. - $a = 1$: infinitas soluciones si $b=1$, ninguna si $b \neq 1$. - $a = -2$: infinitas soluciones si $b=0$ o $b=1$, ninguna si no.