1. **Enunciado do problema:** Verificar se o polinómio $P(x) = x^4 + \frac{3}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 - x$ é divisível pelos polinómios dados: $A(x) = x$, $B(x) = x+1$, $C(x) = x-1$, $D(x) = x-\frac{1}{2}$. 2. **Teorema do Resto:** O resto da divisão de um polinómio $P(x)$ por um polinómio do 1º grau $x - a$ é $P(a)$. Se $P(a) = 0$, então $x - a$ é divisor de $P(x)$. 3. **Aplicação do teorema:** - Para $A(x) = x$, o divisor é $x - 0$, então calculamos $P(0)$: $$P(0) = 0^4 + \frac{3}{2}0^3 - \frac{3}{2}0^2 - 0 = 0$$ Logo, $x$ divide $P(x)$. - Para $B(x) = x + 1$, o divisor é $x - (-1)$, calculamos $P(-1)$: $$P(-1) = (-1)^4 + \frac{3}{2}(-1)^3 - \frac{3}{2}(-1)^2 - (-1) = 1 - \frac{3}{2} - \frac{3}{2} + 1 = 1 - 1.5 - 1.5 + 1 = -1$$ Como $P(-1) \neq 0$, $x+1$ não divide $P(x)$. - Para $C(x) = x - 1$, calculamos $P(1)$: $$P(1) = 1^4 + \frac{3}{2}1^3 - \frac{3}{2}1^2 - 1 = 1 + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} - 1 = 0$$ Logo, $x-1$ divide $P(x)$. - Para $D(x) = x - \frac{1}{2}$, calculamos $P\left(\frac{1}{2}\right)$: $$P\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^4 + \frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^3 - \frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{16} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = \frac{1}{16} + \frac{3}{16} - \frac{3}{8} - \frac{1}{2}$$ Simplificando: $$\frac{1}{16} + \frac{3}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$$ $$\frac{3}{8} + \frac{1}{2} = \frac{3}{8} + \frac{4}{8} = \frac{7}{8}$$ Então: $$P\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{7}{8} = \frac{2}{8} - \frac{7}{8} = -\frac{5}{8} \neq 0$$ Logo, $x - \frac{1}{2}$ não divide $P(x)$. **Resposta final:** O polinómio $P(x)$ é divisível por $x$ e por $x-1$, mas não é divisível por $x+1$ nem por $x - \frac{1}{2}$.