1. Planteamos el problema: factorizar los polinomios dados usando división por Ruffini con los divisores indicados. 2. Recordemos que la división por Ruffini se usa para dividir un polinomio por un binomio de la forma $x - r$ o $x + r$ (equivalente a $x - (-r)$). Se coloca el valor $r$ y se realiza un proceso de suma y multiplicación para obtener el cociente y el residuo. --- ### a) Dividir $P(x) = 6x^7 - 2x^6 - x^4 + x$ por $Q(x) = x - 1$ 3. Identificamos $r = 1$ (porque $x - 1 = 0 \Rightarrow x=1$). 4. Escribimos los coeficientes de $P(x)$ en orden descendente de grado, incluyendo ceros para términos faltantes: $$6, -2, 0, -1, 0, 0, 1, 0$$ (Grados 7 a 0: $6x^7, -2x^6, 0x^5, -1x^4, 0x^3, 0x^2, 1x, 0$) 5. Aplicamos Ruffini con $r=1$: - Bajamos 6 - Multiplicamos 6*1=6, sumamos con -2: 4 - Multiplicamos 4*1=4, sumamos con 0: 4 - Multiplicamos 4*1=4, sumamos con -1: 3 - Multiplicamos 3*1=3, sumamos con 0: 3 - Multiplicamos 3*1=3, sumamos con 0: 3 - Multiplicamos 3*1=3, sumamos con 1: 4 - Multiplicamos 4*1=4, sumamos con 0: 4 (residuo) 6. El residuo es 4, distinto de cero, por lo que $x-1$ no es factor de $P(x)$. --- ### b) Dividir $P(x) = -2x^4 - 3x^2$ por $Q(x) = x + 3$ 7. Aquí $r = -3$ (porque $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$). 8. Coeficientes de $P(x)$ con ceros para términos faltantes: $$-2, 0, -3, 0, 0$$ (Grados 4 a 0: $-2x^4, 0x^3, -3x^2, 0x, 0$) 9. Ruffini con $r = -3$: - Bajamos -2 - Multiplicamos -2*(-3)=6, sumamos con 0: 6 - Multiplicamos 6*(-3)=-18, sumamos con -3: -21 - Multiplicamos -21*(-3)=63, sumamos con 0: 63 - Multiplicamos 63*(-3)=-189, sumamos con 0: -189 (residuo) 10. Residuo distinto de cero, $x+3$ no es factor. --- ### c) Dividir $P(x) = 3x^5 - x^4 + 5x - 2$ por $Q(x) = x^2 + x - 4$ 11. Ruffini solo funciona para divisores lineales, pero $Q(x)$ es cuadrático, por lo que no se puede usar directamente. 12. Para dividir por $x^2 + x - 4$ se debe usar división larga de polinomios, no Ruffini. --- ### Resumen: - a) $x-1$ no es factor de $P(x)$ porque el residuo es 4. - b) $x+3$ no es factor de $P(x)$ porque el residuo es -189. - c) No se puede usar Ruffini para divisor cuadrático. --- **Respuesta final:** $$\text{a) No es divisible por } x-1$$ $$\text{b) No es divisible por } x+3$$ $$\text{c) Ruffini no aplica para } x^2 + x - 4$$