1. El problema es encontrar el dominio de la función $$g(x) = \sqrt{\frac{x}{x^2 - 16}}$$. 2. Para que la función esté definida, el radicando debe ser mayor o igual a cero y el denominador no puede ser cero. 3. Entonces, debemos resolver la desigualdad: $$\frac{x}{x^2 - 16} \geq 0$$ con la condición adicional de que $$x^2 - 16 \neq 0$$. 4. Factorizamos el denominador: $$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$$ 5. Los puntos críticos son donde el numerador o denominador son cero: $$x = 0, x = 4, x = -4$$ 6. Dividimos la recta numérica en intervalos usando estos puntos y analizamos el signo de $$\frac{x}{(x-4)(x+4)}$$ en cada intervalo: - Para $$x < -4$$: numerador negativo, denominador positivo (porque ambos factores son negativos, su producto es positivo), entonces el cociente es negativo. - Para $$-4 < x < 0$$: numerador negativo, denominador negativo (porque $$x-4 < 0$$ y $$x+4 > 0$$, producto negativo), entonces el cociente es positivo. - Para $$0 < x < 4$$: numerador positivo, denominador negativo, cociente negativo. - Para $$x > 4$$: numerador positivo, denominador positivo, cociente positivo. 7. Como queremos $$\frac{x}{x^2 - 16} \geq 0$$, tomamos los intervalos donde el cociente es positivo o cero. 8. El cociente es cero cuando $$x=0$$ (numerador cero), pero no puede ser cuando $$x=4$$ o $$x=-4$$ porque el denominador es cero ahí. 9. Por lo tanto, el dominio es: $$(-4, 0] \cup (4, +\infty)$$ 10. En palabras, la función está definida para $$x$$ entre $$-4$$ y $$0$$ (excluyendo $$-4$$, incluyendo $$0$$) y para $$x$$ mayor que $$4$$. \textbf{Respuesta final:} El dominio de $$g(x)$$ es $$(-4, 0] \cup (4, +\infty)$$.