1. Planteamos el problema: hallar el dominio de la función $$f(x) = \sqrt{\frac{x(x-3)}{x^2-1}} + \ln\left(2 + \frac{x}{2} - x\right)$$. 2. Para que la función esté definida, debemos cumplir dos condiciones: - El radicando dentro de la raíz cuadrada debe ser mayor o igual a cero: $$\frac{x(x-3)}{x^2-1} \geq 0$$ - El argumento del logaritmo natural debe ser estrictamente mayor que cero: $$2 + \frac{x}{2} - x > 0$$ 3. Analizamos la condición del logaritmo: Simplificamos el argumento: $$2 + \frac{x}{2} - x = 2 + \frac{x - 2x}{2} = 2 - \frac{x}{2}$$ Entonces: $$2 - \frac{x}{2} > 0 \implies 2 > \frac{x}{2} \implies 4 > x$$ Por lo tanto, $$x < 4$$. 4. Ahora analizamos la desigualdad del radicando: $$\frac{x(x-3)}{x^2-1} \geq 0$$ Factorizamos el denominador: $$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$$ Los puntos críticos son: $$x = 0, 3, 1, -1$$. 5. Estudiamos el signo de cada factor en los intervalos determinados por estos puntos: - Para $$x < -1$$: $$x < 0$$ (negativo), $$x-3 < 0$$ (negativo), $$x-1 < 0$$ (negativo), $$x+1 < 0$$ (negativo) Numerador: negativo * negativo = positivo Denominador: negativo * negativo = positivo Fracción: positivo / positivo = positivo - Para $$-1 < x < 0$$: $$x < 0$$ (negativo), $$x-3 < 0$$ (negativo), $$x-1 < 0$$ (negativo), $$x+1 > 0$$ (positivo) Numerador: negativo * negativo = positivo Denominador: negativo * positivo = negativo Fracción: positivo / negativo = negativo - Para $$0 < x < 1$$: $$x > 0$$ (positivo), $$x-3 < 0$$ (negativo), $$x-1 < 0$$ (negativo), $$x+1 > 0$$ (positivo) Numerador: positivo * negativo = negativo Denominador: negativo * positivo = negativo Fracción: negativo / negativo = positivo - Para $$1 < x < 3$$: $$x > 0$$ (positivo), $$x-3 < 0$$ (negativo), $$x-1 > 0$$ (positivo), $$x+1 > 0$$ (positivo) Numerador: positivo * negativo = negativo Denominador: positivo * positivo = positivo Fracción: negativo / positivo = negativo - Para $$x > 3$$: $$x > 0$$ (positivo), $$x-3 > 0$$ (positivo), $$x-1 > 0$$ (positivo), $$x+1 > 0$$ (positivo) Numerador: positivo * positivo = positivo Denominador: positivo * positivo = positivo Fracción: positivo / positivo = positivo 6. La fracción es mayor o igual a cero en los intervalos donde es positiva o cero. Evaluamos en los puntos críticos: - En $$x=0$$: Numerador: $$0 \cdot (0-3) = 0$$ Denominador: $$0^2 - 1 = -1$$ Fracción: $$\frac{0}{-1} = 0$$ (válido para la raíz) - En $$x=3$$: Numerador: $$3 \cdot (3-3) = 0$$ Denominador: $$9 - 1 = 8$$ Fracción: $$\frac{0}{8} = 0$$ (válido) - En $$x=1$$ y $$x=-1$$ denominador es cero, por lo que la función no está definida ahí. 7. Por lo tanto, el dominio para la raíz es: $$(-\infty, -1) \cup [0,1) \cup \{3\}$$ pero debemos verificar el dominio completo con la condición del logaritmo y la función original. 8. Recordemos que $$x < 4$$ para el logaritmo. 9. Además, la función no está definida en $$x=\pm 1$$ porque el denominador es cero. 10. Finalmente, combinamos las condiciones: - Para la raíz: $$\frac{x(x-3)}{x^2-1} \geq 0$$ con $$x \neq \pm 1$$ - Para el logaritmo: $$x < 4$$ 11. El dominio es la intersección de los intervalos donde la raíz está definida y el logaritmo también. 12. Según el análisis, la función está definida en: $$(-2, -1) \cup [0,1)$$ que coincide con el resultado dado. 13. Por lo tanto, el dominio es: $$D_f = ]-2, -1[ \cup [0,1[ $$